המשפט הקטן של בזו

המשפט הקטן של בזו או בשמו הנוסף "משפט השארית" קובע שפולינום $f(x)$ מעל חוג קומוטטיבי מתחלק בגורם $x-a$ ללא שארית אם ורק אם $a$ הוא שורש של $f$ . המשפט נקרא על-שמו של המתמטיקאי הצרפתי אתיאן בזו.

המשפט מראה שכל שורש של הפולינום מתאים לגורם ליניארי שלו, ובזכות הפירוק היחיד לגורמים של חוג הפולינומים נובע שמספר השורשים של פולינום אינו עולה על המעלה שלו. מעל שדה סגור אלגברית כמו שדה המספרים המרוכבים, מובטח שהפולינום יתפרק לגורמים ליניאריים.

דוגמה

נתבונן בפולינום $f(x)=x^{3}+3x^{2}-6x-8$
הפולינום מתאפס עבור $x=2$ ולכן נחלק אותו ב- $x-2$ ונקבל:
$f(x)=(x-2)\cdot (x^{2}+5x+4)$

הוכחת הטענה

נחלק את הפולינום $f(x)$ בפולינום $(x-a)$ , חילוק עם שארית, ונקבל $f(x)=g(x)\cdot (x-a)+r(x)$ כאשר $g,r$ פולינומים. אולם, מעלת השארית $r$ קטנה ממעלת המחלק $(x-a)$ , ולכן $r(x)$ הוא פולינום ממעלה אפס, כלומר, סקלר.
נציב $x=a$ ונקבל: $f(a)=g(a)\cdot (a-a)+r=r$ , וקיבלנו שהשארית שווה לערך הפונקציה בנקודה $a$ . פונקציה מתאפסת רק בשורשיה, ולכן השארית היא אפס אם ורק אם $a$ הוא שורש של הפולינום. $\blacksquare$