משפט ויטלי

בתורת המידה, משפט ויטלי (על-שם המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה ויטלי) קובע כי לכל קבוצה מדידת לבג ממידה חיובית יש תת-קבוצה לא מדידה. ההוכחה מבוססת על בחירת נציג מכל מחלקה של המספרים הרציונליים, ולפיכך תלויה באקסיומת הבחירה.

הוכחת המשפט

למה: תהי $\ A$ קבוצה מדידה לבג עם מידה חיובית $\ a=m^{*}(A)>0$. אז קבוצת ההפרשים $A-A=\{x-y\,|\,x\,,y\in A\}$ מכילה קטע פתוח לא ריק סביב נקודת האפס.

הוכחה: לפי ההגדרה של מידת לבג, קיימת סדרת קטעים פתוחים זרים $\ I_{n}$ המכסה את $\ A$, עם $\ \sum _{n=0}^{\infty }{\ m^{*}\left(I_{n}\right)}<\left(1+{\frac {1}{3}}\right)m^{*}(A)\$.

נסמן $\ A_{n}=A\cap I_{n}$. אוסף החיתוכים האלה הוא כיסוי של A בקבוצות זרות ומדידות. קיים n עבורו $\ |I_{n}|=m^{*}\left(I_{n}\right)<{\frac {4}{3}}\ m^{*}\left(A_{n}\right)$, משום שאחרת $\ \sum _{n=0}^{\infty }{m^{*}\left(I_{n}\right)}\geq {\frac {4}{3}}\sum _{n=0}^{\infty }{\ m^{*}\left(A_{n}\right)}={\frac {4}{3}}\ m^{*}\left(A\right)={\frac {4}{3}}a$, בסתירה לבחירת הקטעים $\ I_{n}$.

נסמן $\ I_{n}=I$ ,$\ A_{n}=J$. אז $\ {\frac {3}{4}}m^{*}\left(I\right)<\ m^{*}\left(J\right)$ מכיוון ש-$\ m^{*}\left(I_{n}\right)<{\frac {4}{3}}\ m^{*}\left(A_{n}\right)$.

כעת נראה שלכל $|d|<{\frac {1}{2}}|I|$, החיתוך $J\cap \left(J+d\right)$ אינו ריק. אחרת, $\ 2m^{*}\left(J\right)=m^{*}\left(J\right)+m^{*}\left(J+d\right)=m^{*}\left(J\cup (J+d)\right)\leq m^{*}\left(I\cup (I+d)\right)\leq |I|+|d|\leq |I|+{\frac {1}{2}}|I|={\frac {3}{2}}|I|$, ומכאן $\ m^{*}\left(J\right)\leq {\frac {3}{4}}|I|$, סתירה.

לכן לכל d כנ"ל, $\ d\in J-J=A_{n}-A_{n}\subseteq A-A$, והקטע $\left(-{\frac {1}{2}}|I|\,,{\frac {1}{2}}|I|\right)$ כולו מוכל בהפרש $\ A-A$, כנדרש.

הוכחת המשפט. תהי $\ A$ מדידת לבג עם מידה חיובית. נבחר (באמצעות אקסיומת הבחירה) קבוצה P של נציג אחד מכל מחלקה של חבורת המנה $\ \mathbb {R} /\mathbb {Q}$. נקבע מספור $\ \mathbb {Q} =\{r_{1},r_{2},\dots \}$ של המספרים הרציונליים.

נגדיר $\ A_{n}=A\cap (P+r_{n})$, אז $\ \bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}$ איחוד זר של A, ולכן, אם הקבוצות $\ A_{n}$ כולן מדידות, אז מתקיים $m^{*}\left(A\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{m^{*}\left(A_{n}\right)}$, ומכאן שיש קבוצה $\ A_{n}$ עם מידה חיובית. זה סותר את הלמה, משום שההפרש $\ A_{n}-A_{n}$ אינו יכול להכיל מספר רציונלי שונה מאפס: אחרת יש $x\,,y\in P$ כך ש $(r_{n}+x)-(r_{n}+y)=x-y\in \mathbb {Q}$, בסתירה לבחירת הקבוצה P.

הסבר אינטואיטיבי

נוכיח שקיימת קבוצה לא-מדידה של מספרים ממשיים בקטע [0,1]. ראשית, נגדיר את קבוצת המספרים הממשיים בקטע [0,1] כ"העולם".

נגדיר את המספר 0 כ"נציג א" ואת קבוצת המספרים הרציונליים בקטע [0,1] כ"קבוצה א". נוריד את קבוצה א מהעולם. עכשיו יש בעולם רק מספרים אי-רציונליים.

נבחר מספר כלשהו מהמספרים שנשארו בעולם (לשם כך נשתמש באקסיומת הבחירה); נקרא לו "נציג ב". נגדיר את "קבוצה ב" בתור: כל המספרים ששווים לנציג ב ועוד מספר רציונלי כלשהו. כל המספרים הללו לא רציונליים ולכן כולם נמצאים בעולם. עכשיו נוריד את קבוצה ב מהעולם.

נבחר מספר אחר כלשהו מהמספרים שנשארו בעולם, "נציג ג". נגדיר את "קבוצה ג" בתור: כל המספרים ששווים לנציג ג ועוד מספר רציונלי כלשהו. כל המספרים הללו לא נמצאים באף קבוצה מהקבוצות הקודמות, כי אחרת נציג ג גם הוא היה שייך לאותה הקבוצות הקודמות ולא היינו יכולים לבחור אותו.

נמשיך כך לבחור נציג מהמספרים שנשארו בעולם ולהוריד את הקבוצה המתאימה לו מהעולם, עד שהעולם יתרוקן. כמובן שזה ייקח אינסוף זמן - כל אחת מהקבוצות היא בת-מניה, ולכן מספר הקבוצות הכללי יהיה כעוצמת הרצף. אבל אנחנו הרי לא ממהרים לשום מקום. בסוף מתקבלת חלוקה של הקטע [0,1] למספר רציף של קבוצות בנות-מניה.

עכשיו נתבונן על קבוצת כל הנציגים. זוהי קבוצה שעוצמתה כמספר הקבוצות - כלומר עוצמת הרצף. מה המידה של קבוצה זו? יש שתי אפשרויות:

• אפשרות א: המידה של קבוצת הנציגים גדולה מאפס. אם כך, גם המידה של כל קבוצת נציגים אחרת גדולה מאפס. אם כך, מהי המידה של הקטע [0,1] כולו? לפי תכונת האדיטיביות בהגדרה של מידה, מידה של סכום בן-מניה של קבוצות, צריכה להיות שווה לסכום המידות של הקבוצות. אם כך, המידה של הקטע [0,1] צריכה להיות שווה לסכום כל המידות של קבוצות הנציגים. אבל המספר של קבוצות הנציגים הוא אינסופי (כמספר המספרים הרציונליים), ולכן המידה של הקטע [0,1] צריכה להיות אינסופית. אבל אנחנו יודעים שהמידה של הקטע היא 1 - הגענו לסתירה.
• אפשרות ב: המידה של קבוצת הנציגים היא אפס. לפי אותם שיקולים, המידה של הקטע [0,1] צריכה להיות אפס - שוב הגענו לסתירה.

הגענו למסקנה, שכל ניסיון לייחס מידה כלשהי לקבוצת הנציגים מוביל לסתירה עם עובדות ידועות - מכאן שהקבוצה אינה מדידה.