סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא מקרה פרטי של הסדרה ההנדסית, בו מנת הסדרה היא בין 1 לבין 1- (לא כולל הקצוות ו-0). נהוג לסמן את המנה באות q ולכן $$ |q|<1 $$ .

סדרה הנדסית אינסופית שאינה מקיימת תנאי זה נקראת סדרה הנדסית מתבדרת.

הוכחת נוסחאת סכום הסדרה ההנדסית האינסופית

נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }=a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...$ . על פי הגדרת הסדרה ההנדסית המתכנסת, מנת הסדרה מקיימת $$ |q|<1 $$ ולכן $\lim _{n\to \infty }q^{n}=0$ .

את סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת מסמנים באות $$ S $$ או לעיתים ב- $S_{\infty }$ . ניתן לחשב את הסכום החלקי של סדרה הנדסית עם הנוסחה: $S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$ . משמעות העובדה שסכום הסדרה מתכנס היא שהגבול של הביטוי לסכום קיים. בניסוח אחר: $\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(\lim _{n\to \infty }q^{n}-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(0-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}$ ניתן לראות זאת גם בדוגמה מספרית. סכום הסדרה המקיימת $a_{1}=1,q={\frac {1}{2}}$ מתכנס ל-2 לפי החישוב הבא: $S={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$ .