אסימפטוטה

גרף הפונקציה y = ‎¹⁄_x + x שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לציר ה-Y ולישר y=x

באנליזה מתמטית, אסימפטוטה של פונקציה ממשית היא קו ישר שגרף הפונקציה מתקרב אליו באופן כזה שהמרחק ביניהם שואף לאפס כאשר מתרחקים מראשית הצירים לאינסוף. באופן כללי יותר, אומרים ששתי עקומות מתקרבות זו לזו באופן אסימפטוטי אם המרחק ביניהן שואף לאפס.

אטימולוגיה

מקור השם אסימפטוטה מהמילה היוונית asymptotos) ἀσύμπτωτος) שמשמעותה "לא נופלים יחד".

המשמעות של השם היא ששני הקווים, של עקומת הפונקציה ושל האסימפטוטה, מוסיפים להתקרב זה לזה אך לעולם לא נפגשים^[1].

מיון אסימפטוטות

מקובל למיין את האסימפטוטות של הגרף $y=f(x)$ לשלושה טיפוסים.

אסימפטוטה אנכית: זוהי אסימפטוטה מהצורה $x=a$ , כאשר הפונקציה $f(x)$ שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף, מימין או משמאל (או משני הצדדים), בנקודה $a$ . כלומר כאשר מתקיים $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$ ו/או $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$ אומרים ש- $x=a$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה $f(x)$ . לדוגמה, הישר $x=0$ הוא אסימפטוטה של ההיפרבולה $\ y={\frac {1}{x}}$ , וגם של הפונקציה $\ y=\log(x)$ , המוגדרת רק מימין לאסימפטוטה. לעומת זאת, לפונקציה $\ y={\sqrt {x}}$ אין אסימפטוטה אנכית.
אסימפטוטה אופקית היא אסימפטוטה מהצורה $\ y=b$ , כאשר הפונקציה שואפת ל-b עבור x השואף לאינסוף או למינוס אינסוף. לדוגמה, y=0 היא אסימפטוטה של ההיפרבולה שהוזכרה לעיל, וגם של הפונקציה $\ y={\frac {x}{x^{2}+1}}$ .
אסימפטוטה משופעת היא ישר מהצורה $y=ax+b$ , כאשר הגבול של ההפרש $\ f(x)-(ax+b)$ הוא אפס עבור x השואף לאינסוף או למינוס אינסוף. זוהי הכללה של הטיפוס האופקי, המתקבל כאשר פרמטר השיפוע הוא a=0. כדי לאתר אסימפטוטה כזו, אפשר לבחון את הגבול של $\ {\frac {f(x)}{x}}$ , או (אם הפונקציה גזירה) של $\ f'(x)$ ; אם הגבולות קיימים, ערכם הוא מקדם שיפוע אפשרי של האסימפטוטה. לאחר שחושב a, אפשר למצוא את b על ידי חישוב הגבול של ההפרש $f(x)-ax$ .

אסימפטוטות של פונקציות רציונליות

בפונקציות רציונליות, מהצורה $f(x)={\frac {P_{m}}{Q_{n}}}={\frac {ax^{m}+...}{bx^{n}+...}}$ , ניתן לחשב את משוואות האסימפטוטות (אופקית או משופעת) באופן הבא:

טבלה המתארת את סוגי האסימפטוטות עבור פונקציות רציונליות
יחס חזקה	אסימפטוטות	דוגמה
$m<n$	$y=0$	$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$	$y=0$
$m=n$	חלוקת המקדמים של הדרגה הכי גבוהה, $y={\frac {a}{b}}$	$f(x)={\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}$	$y={\frac {2}{3}}$
$m=n+1$	y = המנה לאחר ביצוע חילוק פולינומים	$f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x}}$	$y=x+1$
$m>n+1$	אין	${\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}$	אין

לפי הגדרה, הפונקציה לא יכולה לחתוך אסימפטוטה אנכית של עצמה. לעומת זאת, ייתכן שהפונקציה תחתוך את אחת האסימפטוטות האופקיות או המשופעות של עצמה (אם קיימות).