חוק סטוקס

חוק סטוקס בהידרודינמיקה עוסק בתנועת גוף בתווך צמיג. החוק קרוי על שמו של הפיזיקאי האנגלי ג'ורג' סטוקס אשר ניסח אותו בשנת 1851.

על פי חוק סטוקס, כוח הגרר (כוח ה"חיכוך" המתנגד לתנועת הגוף) על כדור ברדיוס $R$ הנע במהירות $v$ בתווך בעל מקדם צמיגות $\eta$ נתון על ידי:

$$F_{\text{drag}}=-6\pi \eta Rv$$

חוק סטוקס תקף בגבול של מספר ריינולדס קטן ($Re\ll 1$) בו הצמיגות דומיננטית יחסית להתמד. במקרה זה ניתן לקבל את חוק סטוקס על ידי פתרון של משוואת נאווייה-סטוקס בהזנחת אברי האינרציה.

היחס הישר בין כוח הגרר ובין המהירות מתקיים גם לגופים בעלי צורה לא כדורית, אולם עבורם לא ניתן לחשב את מקדם הפרופורציה במדויק. עבור תנועה במהירויות גבוהות (מספר ריינולדס לא קטן) חוק סטוקס נשבר ובגבול של מספר ריינולדס גדול כוח הגרר מתכונתי ל-$v^{2}$ . עם זאת, חוק סטוקס תקף במגוון רחב של מצבים ויש לו חשיבות גדולה בחקר תנועת גופים בתווך צמיג, כמו למשל מחקר של תנועת מיקרואורגניזמים ותאים בנוזל.

גזירת חוק סטוקס

במאמר מדעי חלוצי וחשוב ביותר משנת 1851, סטוקס גזר את הביטוי לגרר הפועל על כדור הנע דרך זורם צמיג בגבול של מספרי ריינולדס נמוכים. תוצאה זו היא אחת התוצאות הקלאסיות והחשובות בהידרודינמיקה עם מספרי ריינולדס נמוכים, והיא אחת התוצאות המשמעותיות הראשונות בתחום; בפיתוח החוק סטוקס עשה שימוש נרחב בכלים של האנליזה הווקטורית, ענף מתמטי שסטוקס היה ממייסדיו. להלן מובא הפיתוח של סטוקס.

פונקציית הזרם

בגלל הסימטריה הגלילית של הבעיה יחסית לכיוון מהירות התנועה של הכדור, נוח יותר להציג את הבעיה במערכת קואורדינטות כדוריות שראשיתה במרכז הכדור. במערכת צירים כזאת למהירות הזרימה הצמיגה והאי-דחיסה מסביב לכדור לא יהיה רכיב מהירות אזימוטלי אלא רק רכיב מהירות רדיאלי ורכיב מהירות משיקי. העובדה שהדיברגנץ של שדה הזרימה מסביב לכדור הוא אפס מאפשרת להציג את פונקציית הזרם (פונקציית הזרם של סטוקס) הבאה:

${\begin{aligned}u_{r}&={\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\end{aligned}}$

ניתוח וקטורי של הבעיה

כדי לתאר את פילוג הלחץ במרחב מסביב לכדור נשתמש בהנחות שהזרימה היא תמידית (כלומר שהנגזרת הזמנית של וקטור המהירות בנקודה כלשהי היא אפס) ושהזרימה היא ניוטונית, ולכן גרדיאנט הלחץ שווה למכפלת מקדם הצמיגות בלפלסיאן של שדה המהירות:

$\nabla P=\mu \nabla ^{2}u$

זרימה זוחלת מסביב לספירה

כיוון שערבוליות הזרימה בנקודה שווה לגרדיאנט המהירות המקומי, הלפלסיאן של שדה המהירות ניתן לחישוב על ידי לקיחת הרוטור של שדה המהירות פעמיים, כלומר לקיחת הרוטור של הערבוליות. מהצבת הביטויים ל- $u_{\theta },u_{r}$ מקבלים:

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin(\theta )}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin(\theta )}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}$

את הפעולה $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin(\theta )}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\right)$ נסמן כאופרטור E. כיוון שלקיחת הרוטור של הערבוליות נותנת את שדה גרדיאנט הלחץ, לקיחת הרוטור פעם נוספת תיתן אפס (הרוטור של שדה גרדיאנט הוא אפס). סה"כ יש לקחת את הרוטור של המהירות שלוש פעמים.

ניתן להראות גם שווקטור המהירות בנקודה נתון על ידי $-\nabla \times {\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ ווקטור הערבוליות נתון על ידי $-\nabla \times (\nabla \times {\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}})$. כדי לחשב את $curl(curl\omega _{\phi })$ יש לחשב את $-\nabla \times \nabla \times (\nabla \times (\nabla \times {\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}))$ הצבה מפורשת נותנת:

$E^{2}\psi =0$.

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית

ננחש פתרון מהצורה $\Psi (r,\theta )=sin^{2}\theta f(r)$ (הניחוש נובע מהסתכלות על המבנה של הפתרון באינסוף). האופרטור E כאשר הוא פועל על פונקציה מהצורה הזאת שקול (ניתן להראות זאת) לאופרטור: $sin^{2}\theta ({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}})f(r)=sin^{2}\theta g(r)$, כלומר הצורה הפונקציונלית נשמרת, ולכן הפעלת האופרטור פעמיים נותנת, לאחר גזירה ארוכה וכפל פי $r^{4}$:

$r^{4}{\frac {\partial ^{4}f(r)}{\partial r^{4}}}-4r^{2}{\frac {\partial ^{2}f(r)}{\partial r^{2}}}+8r{\frac {\partial f(r)}{\partial r}}-8f(r)=0$.

ננחש פתרון מהצורה $f(r)=r^{k}$ ונקבל לאחר צמצום $r^{k}$ את הפולינום $k^{4}-6k^{3}+7k^{2}+6k-8=0$, אשר לו פתרונות $k=-1,+1,+2,+4$. הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הוא סכום של חזקות אלה של r, כלומר הוא מהצורה:

$f(r)={\frac {A}{r}}+Br+Cr^{2}+Dr^{4}$.

תנאי השפה של הבעיה מאפשרים לקבוע את ערכי המקדמים A,B,C,D. ברור שבאינסוף הזרימה לא מושפעת מהכדור ולכן מהירותה היא $U_{0}$, או לחלופין $u_{r}(\infty ,\theta )=U_{0}cos\theta$. כמו כן על שפת הכדור מתקיים: $u_{r}(a,\theta )=0,u_{\theta }(a,\theta )=0$.

הצבה בתנאי השפה נותנת את פונקציית הזרימה: $\Psi (r,\theta )={\frac {U_{0}}{4}}(2r^{2}+{\frac {a^{3}}{r}}-3ar)sin^{2}\theta$, ולפיכך הפתרון לשדה המהירות מסביב לכדור הוא:

$u_{r}(r,\theta )=U_{0}(1-{\frac {3a}{2r}}+{\frac {a^{3}}{2r^{3}}})cos\theta$

$u_{\theta }(r,\theta )=U_{0}(-1+{\frac {3a}{4r}}+{\frac {a^{3}}{4r^{3}}})sin\theta$

תחזיות פיזיקליות

גרר אודות למאמצי לחיצה על הכדור

הערבוליות בכל נקודה נתונה על ידי : $\omega _{\phi }={\frac {1}{r}}({\frac {\partial (ru_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }})$. אם נציב את הביטויים שקיבלנו לווקטור המהירות בנקודה נקבל: $\omega _{\phi }(r,\theta )=-{\frac {3U_{0}asin\theta }{2r^{2}}}$. אם ניקח את הרוטור של הערבוליות ונציב את התוצאה במשוואה לגרדיאנט הלחץ נקבל לאחר אינטגרציה: $p(r,\theta )=p_{\infty }+{\frac {3\mu U_{0}acos\theta }{2r^{2}}}$. מהצבת r = a נקבל שהלחץ בכל נקודה על הכדור הוא : $p_{\infty }+{\frac {3\mu U_{0}cos\theta }{2a}}$.

אינטגרציה של מאמצי הלחיצה שיוצר הזורם על הכדור נותנת שכוח הגרר אודות ללחץ הוא : $D_{p}=2\pi a^{2}\int _{-1}^{1}pcos\theta d(\cos \theta )=3\pi a\mu U_{0}\int _{-1}^{1}cos^{2}\theta d(\cos \theta )=2\pi a\mu U_{0}$.

גרר אודות למאמצי גזירה על הכדור

מאמצי הגזירה הנובעים מכוחות הצמיגות הפועלים על פני הכדור שווים לגרדיאנט המהירות בכל נקודה על הכדור כפול צמיגותו של הזורם. גרדיאנט המהירות המקומי שווה לערבוליות המקומיות. כיוון שכך, ניתן להציב את הביטוי שהתקבל לערבוליות $\omega _{\phi }(r,\theta )=-{\frac {3U_{0}asin\theta }{2r^{2}}}$ ולקבל:

$D_{t}=2\pi a^{2}\int _{-1}^{1}tsin\theta d(\cos \theta )=2\pi a^{2}\int _{-1}^{1}{\frac {3\mu U_{0}sin\theta }{2a}}sin\theta d(\cos \theta )=3\pi a\mu U_{0}\int _{-1}^{1}(1-cos^{2}\theta )d(\cos \theta )=4\pi a\mu U_{0}$.

סך כוחות הגרר הפועלים על הכדור שווה לסכום גרר הלחץ וגרר הצמיגות, שנותן: $D=6\pi a\mu U_{0}$. זוהי התוצאה המפורסמת של סטוקס. שים לב, ש-$2/3$ מהגרר מקורו במאמצי הגזירה וה-$1/3$ האחר מקורו בגרר לחץ.

תנועה בהשפעת גרביטציה

כאשר הגוף נע בהשפעת גרביטציה, יפעל עליו בנוסף לכוח הגרר גם כוח הכבידה וכוח העילוי. משוואת התנועה שלו תהיה:

$$m{\frac {dv}{dt}}=mg-\rho _{f}Vg-bv$$

כאשר:

• $\ m$ מסת הגוף ו- $\ mg$ כוח הגרביטציה הפועל עליו.
• $\ V$ נפח הגוף, $\ \rho _{f}$ צפיפות הזורם המקיף אותו ו - $\ \rho _{f}Vg$ כוח העילוי הפועל על הגוף.
• $\ bv$ הוא כוח הגרר, עם הקבוע $\ b=6\pi \eta R$ עבור כדור.

פתרון המשוואה מראה כי מהירות הגוף שואפת (אקספוננציאלית) לערך קבוע, אשר עבור כדור נתון על ידי $V_{s}={\frac {2}{9}}{\frac {\left(\rho -\rho _{f}\right)}{\eta }}g\,R^{2}$ ($\ \rho$ היא צפיפות הגוף הכדורי). בתופעה זו נעשה שימוש לצורך מדידת מקדמי צמיגות של חומרים.

זרימה של יונים בתמיסה

כאשר יון בעל מטען $ze$ נע בתמיסה בהשפעת שדה חשמלי $E$, יפעל עליו בנוסף לכוח הגרר גם כוח חשמלי $\ F_{e}=zeE$. היון יאיץ עד שהכוח השקול הפועל עליו $F_{drag}+F_{e}$ יהיה שווה לאפס, ומהירותו במצב זה תהיה:

$$v_{drift}={\frac {zeE}{6\pi \eta R}}$$

מהירות זו נקראת מהירות הסחיפה של היון, ועבור יון מסוים היא נמצאת ביחס ישר לעוצמת השדה החשמלי וביחס הפוך לצמיגות הממס.