פונקציית הזרם של סטוקס

קווי זרימה מסביב לספירה בזרימת סטוקס עם סימטריה גלילית. כאשר העצם הכדורי מגיע למהירות הטרמינלית כוח הגרר $F_{d}$ משתווה לכוח היוצר את התנועה $F_{g}$.

במכניקת הזורמים, פונקציית הזרם של סטוקס (באנגלית: Stokes stream function) משמשת כדי לתאר את קווי הזרימה ומהירות הזרימה בזרימה אי-דחיסה תלת-ממדית עם סימטריה גלילית. משטח עליו יש ערך קבוע של הפונקציה תוחם שפופרת זרימה, המשיקה בכל מקום לווקטורי שדה הזרימה. יותר מכך, השטף הנפחי של הזרימה לאורך שפופרת הזרימה הזאת קבוע - בהגדרתה פונקציית זרם היא נקייה מדיברגנצים (אין בה בורות או מקורות). פונקציית הזרם הזאת נקראת על שם ג'ורג' סטוקס.

השימוש בפונקציית הזרם הוא בכל בעיה בה הזרימה היא בעלת סימטריה סביב ציר מסוים. סטוקס נעזר בה במקור כדי לחשב את שדה המהירות מסביב לספירה ברדיוס a בגבול של מספרי ריינולדס נמוכים. הדבר אפשר לו לגזור את חוק סטוקס לזרימה צמיגה.

רקע: פונקציית זרם ופוטנציאל מהירות

פונקציית הזרם $\Psi$ היא דרך לתאר את התפלגות הספיקה הנפחית של זרימה במרחב. למשל, במקרה הדו-ממדי, הפרש הערכים שלה בין שני קצוות של עקום מבטא את הספיקה הכוללת של הזרימה דרך העקום הזה. יש להבהיר שפונקציית זרם יכולה להיות מוגדרת היטב רק במקרה של זרימה נטולת מקורות או בורות, בדיוק כשם שפונקציית פוטנציאל מהירות מוגדרת היטב רק לזרימה ללא ערבוליות. אחרת, ניתן לבנות מסלול סגור (או משטח סגור במקרה התלת-ממדי), ולקבל שכאשר הולכים לאורכו עד שחוזרים לנקודת ההתחלה ערך פונקציית הזרם משתנה - כלומר היא אינה מקבלת ערך יחיד בנקודה (פונקציה רב-ערכית). לפונקציית הזרם יש התנהגות הפוכה לזה של פוטנציאל המהירות $\phi$; בכיוון המרחבי בו פוטנציאל המהירות משתנה בצורה המרבית פונקציית הזרם אינה משתנה כלל, בעוד בכיוון בו פונקציית הזרם משתנה בצורה המרבית פוטנציאל המהירות אינו משתנה כלל. בשפה מתמטית: $(\nabla \Psi )\cdot (\nabla \phi )=0$, כלומר המכפלה הסקלרית של גרדיאנט פונקציית הזרם בגרדיאנט פוטנציאל המהירות היא אפס (שני הווקטורים ניצבים זה לזה). אינטואיטיבית, התמונה נראית כך: פוטנציאל המהירות משתנה בצורה המרבית כאשר הולכים לאורך קו הזרם, בעוד פונקציית הזרם משתנה בצורה המרבית כאשר הולכים בניצב לקו הזרם (כלומר היא "סופרת" את קווי הזרימה). לכן, קווים הניצבים לקווי הזרם נקראים גם קווים "שווי פוטנציאל" (פוטנציאל המהירות).

הפונקציה בקואורדינטות כדוריות

נקודה המצוינת באמצעות שימוש בקואורדינטות כדוריות.

בקואורדינטות כדוריות ( r , θ , φ ), המרחק הרדיאלי מהראשית הוא r, הזווית θ היא זווית הזנית ו- φ היא הזווית האזימוטלית. בזרימה עם סימטריה גלילית, בה θ = 0 הוא ציר הסימטריה הסיבובית, הגדלים שמתארים את הזרימה הם בלתי תלויים באזימוט φ. מכיוון שאלמנט נפח בקואורדינטות כדוריות מקיים:

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$.

כיוון שפונקציית זרם מוגדרת כך שהפרש ערכיה בין שתי נקודות (או עקומות סגורות במקרה התלת-ממדי) שווה לספיקה העוברת דרך קו המחבר ביניהן, ניתן לקבל לפי הגדרת פונקציית הזרימה ש-:

${\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}$.

השטף הנפחי דרך שפופרת זרם התחומה על ידי משטח שעליו ערך הפונקציה ψ קבוע, הוא 2π ψ.

דיברגנץ אפס

הדיברגנץ של שדה הזרימה בכל נקודה במרחב, לפי הנחת אי-הדחיסות של הזורם, הוא:

${\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{r\,\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Bigl (}u_{\theta }\,\sin(\theta ){\Bigr )}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{2}\,u_{r}{\Bigr )}\\&={\frac {1}{r\,\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)=0.\end{aligned}}$.

הערבוליות

הערבוליות מוגדרת כ-:

${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi }}$, כאשר ${\boldsymbol {\psi }}=-{\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

ו-${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ הוא וקטור יחידה בכיוון $\phi$ (הכיוון האזימוטלי).

גזירה של הערבוליות $\omega$ באמצעות פונקציית הזרימה של סטוקס

בהינתן ההגדרה של הערבוליות: ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}.$ מהגדרת הרוטור בקואורדינטות כדוריות נקבל: ${\begin{aligned}\omega _{r}&={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(u_{\phi }\sin \theta \right)-{\partial u_{\theta } \over \partial \phi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}},\\\omega _{\theta }&={1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial u_{r} \over \partial \phi }-{\partial \over \partial r}\left(ru_{\phi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}},\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(ru_{\theta }\right)-{\partial u_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}.\end{aligned}}$ ראשית שים לב שרכיבי העירבוליות בצירים $r$ ו-$\theta$ שווים לאפס. שנית, נציב את הביטויים ל-$u_{r}$ ו-$u_{\theta }$ בביטוי ל-$\omega _{\phi }$. התוצאה היא: ${\begin{aligned}\omega _{r}&=0,\\\omega _{\theta }&=0,\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(r\left(-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}$ לאחר מכן, התהליך האלגברי הבא מניב: ${\begin{aligned}\omega _{\phi }&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\partial \over \partial r}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&=-{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}$

כתוצאה, החישוב של וקטור הערבוליות נותן:

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.$

כאשר האופרטור E המוגדר כ-: $E=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\right)$ הוא אופרטור חשוב בחישוב פילוג הלחץ על כדור (פילוג מאמצי הלחיצה) וכוחות הצמיגות (פילוג מאמצי הגזירה) שהזורם מפעיל על השכבה הצמודה לכדור, ולפיכך שימוש בו הוא שלב קריטי בגזירת חוק סטוקס: $F_{d}=6\pi \,\mu \,R\,V\,$.

ראו גם

• משוואות סטוקס