חוג מקומי למחצה

בתורת החוגים, חוג מקומי למחצה הוא חוג $R$ כך שהמנה $R/J(R)$ היא חוג פשוט למחצה ארטיני, כאשר $J(R)$ הוא רדיקל ג'ייקובסון. החוגים המקומיים-למחצה הקומוטטיביים הם אלו שיש להם מספר סופי של אידיאלים מקסימליים.

ההגדרה

חוג $R$ הוא מקומי למחצה אם $R/J(R)$ ארטיני. מכיוון ש- $R/J(R)$ ממילא פרימיטיבי למחצה, נובע מיד שהמנה פשוטה למחצה, כלומר (לפי משפט ודרברן-ארטין) סכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק.

דוגמאות

המקרה הקומוטטיבי

בכל חוג קומוטטיבי נתרי $R$ , אוסף האיברים שהם מחלקי אפס מוכל באיחוד סופי של אידיאלים ראשוניים. משום כך, חוג השברים הקלאסי של $R$ , המתקבל בתהליך של מיקום על ידי היפוך כל האיברים הרגולריים (היינו שאינם מחלקי אפס) הוא מקומי למחצה.

חוג דדקינד מקומי למחצה הוא ראשי. במילים אחרות, לכל חוג דדקינד שאינו תחום ראשי יש אינסוף אידיאלים מקסימליים.

המקרה הכללי

חוג $R$ הוא מקומי למחצה אם ורק אם יש פונקציה $d:R\rightarrow \{0,1,\dots ,n\}$ , כך ש- $d(a)+d(1-ab)=d(a-aba)$ לכל $a,b$ , ו- $a$ הפיך אם ורק אם $d(a)=0$ .

יש דרכים רבות לקבל חוגים מקומיים למחצה. חוג מקומי הוא מקומי למחצה. מכפלה סופית של חוגים מקומיים היא מקומית למחצה. חוג מטריצות מעל חוג מקומי הוא מקומי למחצה. כל חוג שהוא מודול סופי מעל תת-חוג קומוטטיבי שהוא מקומי למחצה, גם הוא מקומי למחצה. אם $R'$ הוא חוג ארטיני שמאלי, ו- $R$ הוא תת-חוג כך שמודול המנה $R'/R$ ארטיני מעל $R$ , אז $R$ מקומי למחצה.

אם חוג הוא "קלאסי" (כל איבר שאינו מחלק אפס הוא הפיך), ומקיים את תנאי השרשרת העולה על מאפסים ימניים ועל מאפסים שמאליים, אז הוא מקומי למחצה.

אם יש לחוג מספר סופי של אידיאלים מקסימליים, אז הוא מקומי למחצה (ההפך נכון במקרה הקומוטטיבי, אבל לא במקרה הכללי).

כל חוג אנדומורפיזמים של מודול ארטיני הוא מקומי למחצה. כך גם חוג האנדומורפיזמים של מודול יוניסריאלי (כזה שתת-המודולים שלו מהווים שרשרת).

הטווח היציב

כל חוג מקומי למחצה $R$ הוא בעל טווח יציב 1, כלומר, אם $Ra+Rb$ מכיל איבר הפיך, אז $a+Rb$ מכיל איבר כזה.

מחלקות של חוגים מקומיים למחצה

כל חוג אנדומורפיזמים של מודול בעל אורך סופי הוא פרימרי למחצה, היינו מקומי למחצה, עם רדיקל ג'ייקובסון נילפוטנטי.

כיסוי פרויקטיבי של מודול $M$ הוא מודול פרויקטיבי $P$ עם הטלה $P\rightarrow M$ שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן. לא לכל מודול יש כיסוי פרויקטיבי, אבל אם הוא קיים, הוא יחיד.

חוגים מושלמים

התכונות הבאות שקולות עבור חוג $R$ . חוג המקיים אותן נקרא חוג מושלם (שמאלי).

לכל מודול שמאלי מעל $R$ יש כיסוי פרויקטיבי.
כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי.
החוג מקומי למחצה, ולכל סדרה של איברים $a_{1},a_{2},\dots \in J(R)$ , קיים $n$ כך- $a_{1}\cdots a_{n}=0$ .
החוג מקומי למחצה, ולכל מודול שמאלי שונה מאפס יש תת-מודול מקסימלי.
החוג מקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידיאלים ימניים ראשיים.

חוג מושלם שמאלי אינו בהכרח מושלם ימני. תחום שלמות מושלם הוא שדה.

חוגים מושלמים למחצה

אם יש כיסוי פרויקטיבי לכל מודול שמאלי נוצר סופית מעל $R$ , החוג מושלם למחצה. תנאי זה סימטרי להחלפת שמאל וימין.

חוג הוא מושלם למחצה אם ורק אם הוא מקומי למחצה, ואפשר להרים אידמפוטנטים מ- $R/J(R)$ ל- $R$ . הרמת האידמפוטנטים מקנה לחוגים כאלה מבנה מובהק של חוגי מטריצות. אכן, אם $e_{1},\dots ,e_{n}$ היא מערכת אורתוגונלית של אידמפוטנטים כך ש- $e_{i}(R/J(R))e_{i}$ הם המרכיבים הפשוטים של המנה, אז $R=\sum R_{ij}$ כאשר $R_{ij}=e_{i}Re_{j}$ ; $R_{ii}$ הם תת-חוגים ו- $R_{ij}=e_{i}Re_{j}$ בי-מודולים. משפט קרול-רמק-שמידט קובע שאם $M$ מודול מעל חוג $R$ ו- $\operatorname {End} (M)$ מושלם למחצה, אז $M$ מתפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פריקים, ופירוק זה יחיד עד כדי סדר ואיזומורפיזם של הגורמים.