חוג נתרי

באלגברה מופשטת, חוג נתרי הוא חוג עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה על האידיאלים השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידיאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של אמי נתר אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה דויד הילברט. מתנאי השרשרת נובע שכל אידיאל שמאלי של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נתריים. במידה ידועה, תורת החוגים עוסקת בעיקר בחוגים נתריים, משום שחוגים שאינם נתריים הם פראיים ומסובכים מכדי שאפשר יהיה להבינם.

אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא שלאידיאלים הראשוניים יש גובה סופי - ולכן אפשר ללמוד את הספקטרום באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידיאלים ראשוניים. גובהם של האידיאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נתריים שממד קרול שלהם אינסופי. עם זאת, לאלגברות אפיניות (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נתריים, יש ממד קרול סופי.

תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים ארטיניים. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נתרי (משפט הופקינס-לויצקי). חוגים נתריים מקיימים את תנאי משפט גולדי, על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).

אוסף החוגים הנתריים סגור ביחס לפעולות אלגבריות מסוימות: חוג מנה של חוג נתרי הוא נתרי, וגם מכפלה ישרה של שני חוגים נתריים היא נתרית. לעומת זאת, (ובניגוד למצב עבור מודולים נתריים), תת-חוג של חוג נתרי אינו בהכרח נתרי. חוג הוא נתרי אם ורק אם כל המודולים הנוצרים סופית מעליו הם נתריים. חוג פולינומים מעל חוג נתרי הוא נתרי, וחוג המטריצות מעל חוג נתרי הוא נתרי.

הגדרות

הנתריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידיאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:

• חוג נתרי-ימני - חוג המקיים את התנאי ACC על אידיאלים ימניים
• חוג נתרי חלש - חוג המקיים את התנאי ACC על אידיאלים דו-צדדיים

ישנם חוגים נתריים שאינם נתריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.

קריטריון לחוג נתרי

חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא נתרי כמודול מעל עצמו (משום שהאידיאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).

• "תנאי המקסימום" (לאידיאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידיאלים שמאליים בחוג $R$, קיים איבר מקסימלי, כלומר אידיאל שלא מוכל באף אידיאל אחר מהקבוצה (אף על פי שאידיאל כזה בדרך כלל אינו אידיאל מקסימלי). חוג $R$ הוא נתרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידיאלים שמאליים.

מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידיאל שמאלי בחוג מוכל באידיאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי הלמה של צורן.

• "תנאי הבסיס הסופי": כל אידיאל שמאלי $I$ ב-$R$ נוצר סופית (כלומר קיימים $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ ב-$R$ כך ש $I=Ra_{1}+Ra_{2}+...+Ra_{n}$). החוג $R$ מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נתרי.

משפט. חוג קומוטטיבי הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל ראשוני נוצר סופית.

תכונות

• בחוג נתרי $R$, כל אידיאל מכיל מכפלה (סופית) של אידיאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום. בפרט, יש מכפלה של אידיאלים ראשוניים השווה לאפס (בתחומי-שלמות נתריים אידיאל האפס הוא בעצמו ראשוני).

• כל שדה הוא חוג נתרי. זה נובע מכך שהאידיאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-$\{0\}$.
• משפט הבסיס של הילברט: אם $R$ חוג נתרי אז $R[x]$ חוג נתרי ($R[x]$ הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל $R$). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של הילברט עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
• כל תמונה הומומורפית $R'$ של חוג נתרי $R$ היא נתרית בעצמה. במילים אחרות, אם $R$ חוג נתרי ו-$I$ אידיאל, אז חוג המנה $R/I$ גם הוא נתרי. (הוכחה: כל אידיאל של חוג המנה הוא תמונה של אידיאל של $R$, הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).

משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נתרית.

• כל תחום שלמות נתרי $R$ הוא אטומי, כלומר: כל איבר $a$ שאינו הפיך אפשר להציג כמכפלה של איברים אי-פריקים מתוך $R$.

הוכחה: נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נתרי. נניח ש-$a$ הוא איבר לא הפיך ב-$R$, ונגדיר את הסדרה $\left\{a_{n}\right\}$ על ידי הכללים: $a_{1}=a$; $a_{n}$ הוא מחלק אמיתי של $a_{n-1}$ (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה $Ra_{n}$ יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סדרה חדשה $\left\{b_{n}\right\}$ המוגדרת על ידי: $b_{1}=a$; $b_{n-1}=b_{n}p_{n}$, כאשר $p_{n}$ אי-פריק. קיבלנו ש-$a=p_{2}...p_{m}b_{m}$ הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.

• כל תחום ראשי הוא נתרי (מכיוון שהאידיאלים שלו נוצרים סופית).

השערת ג'ייקובסון, השואלת האם $\bigcap J(R)^{n}=0$ כאשר $J(R)$ הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, פתוחה עבור חוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.

דוגמאות

• חוג המספרים השלמים - $\mathbb {Z}$. זה נובע מכך ש-$\mathbb {Z}$ הוא תחום ראשי.
• חוג השלמים ה-p-אדיים $\mathbb {Z} _{p}$ כאשר $p$ ראשוני. בחוג זה כל אידיאל נוצר על ידי חזקה של $p$.
• חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: $\mathbb {C} [x,y]$. בחוג זה כל האידיאלים נוצרים סופית. (לפי משפט הבסיס של הילברט).
• דוגמה לחוג לא חילופי שהוא נתרי-ימני אך לא נתרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל $2\times 2$ המוגדר: $R={\begin{pmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \\\end{pmatrix}}$.
  ניתן לראות שחוג זה אינו נתרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת האידיאלים הבאה: $I_{n}=\{{\begin{pmatrix}0&{\frac {m}{2^{n}}}\\0&0\\\end{pmatrix}}|m\in \mathbb {Z} \}$.
  עבור כל $n$, $I_{n}$ הוא אידיאל שמאלי ב-$R$, ומתקיים: $I_{0}\subsetneq I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq ...$. יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נתרי שמאלי. לעומת זאת החוג $R$ הוא נתרי ימני (הוכחה).

מקורות

• Oscar Zariski, Pierre Samuel. Commutative Algebra, D.Van Nostrand Company, New Jersey. Chapter 4
• Louis H.Rowen. Ring Theory, Volume 1, Academic Press, San Diego

קישורים חיצוניים

• הרחבה על חוגים נתריים ויישומיהם
• משפטים וחומר נוסף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31100798חוג נתרי