טווח יציב (תורת החוגים)
בתורת החוגים, טווח יציב הוא ערך מספרי המותאם לחוג, ומהווה כימות אריתמטי לתכונות של קבוצות יוצרים. הטווח היציב הוגדר על ידי היימן בס ב-1960, על-מנת למדוד את היציבות של חבורות המטריצות ההפיכות מעל חוג בהקשר לתורת K שלו.
אם לחוג אנדומורפיזמים של מודול יש טווח יציב 1, אז המודול ניתן לצמצום: אם $ \ M\oplus P\cong M\oplus Q $ ו-$ \ \operatorname {End} (M) $ בעל טווח יציב 1, אז $ \ P\cong Q $. מכאן אפשר להסיק שמעל חוג בעל טווח יציב 1, כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית ניתן לצמצום.
הגדרה
הטווח היציב של חוג R שווה למספר המינימלי n שעבורו, לכל $ \ a_{1},\dots ,a_{n},a_{n+1}\in R $ שעבורם $ \ Ra_{1}+\cdots +Ra_{n+1}=R $, קיימים $ \ t_{1},\dots ,t_{n}\in R $ כך ש-$ \ R(a_{1}+t_{1}a_{n+1})+\cdots +R(a_{n}+t_{n}a_{n+1})=R $; אם קיים כזה. הגרסה הימנית של הגדרה זו מביאה לאותו ערך מספרי. את הטווח היציב של R מסמנים ב-$ \ \operatorname {sr} (R) $.
דוגמאות
לכל שדה ולכל חוג קומוטטיבי מקומי יש טווח יציב 1. הטווח היציב של חוג המספרים השלמים הוא 2. הטווח היציב של חוג קומוטטיבי נתרי אינו עולה ביותר מ-1 על ממד קרול שלו. הטווח היציב של חוג הפולינומים $ \ k[x_{1},\dots ,x_{n}] $ מעל שדה הוא n+1.
תכונות
לכל אידיאל I של R מתקיים $ \ \operatorname {sr} (R/I)\leq \operatorname {sr} (R) $. עבור $ \ I=\operatorname {Jac} (R) $, הרדיקל של ג'ייקובסון, מתקיים שוויון. במובן זה, הטווח היציב הוא תכונה של חוגים פרימיטיביים למחצה.
חוג בעל טווח יציב 1 הוא חוג סופי-דדקינד (כלומר אם ab=1 אז גם ba=1). בפרט, הטווח היציב של R הוא 1, אם $ \ a,b\in R $ שעבורם $ \ Ra+Rb=R $, קיים $ \ t\in R $ כך ש-$ \ a+tb $ הפיך. כל חוג $ \pi $-רגולרי חזק הוא בעל טווח יציב 1 [1]. לכל חוג מקומי למחצה יש טווח יציב 1. אם R בעל טווח יציב 1, אז כך גם כל חוג אנדומורפיזמים של מודול פרויקטיבי נוצר סופית מעליו; בפרט, לחוגי המטריצות מעל R יש טווח יציב 1. בכיוון ההפוך, אם $ \ \operatorname {sr} (R)=1 $ ו-e אידמפוטנט של R, אז גם $ \ \operatorname {sr} (eRe)=1 $.
יש חסם כללי על הטווח היציב של חוגי מטריצות: אם $ \ \operatorname {sr} (R)=n $ אז $ \ \operatorname {sr} (M_{k}(R))\leq 1+\lceil {\frac {n-1}{k}}\rceil $.
הערות שוליים
טווח יציב (תורת החוגים)24778857