תת-מודול קטן

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החוגים, תת-מודול קטן של מודול $ M $ מעל חוג $ R $, הוא תת-מודול $ S $ כך שלכל תת-מודול אמיתי $ N $, גם הסכום $ N+S $ אמיתי. במילים אחרות, לא ייתכן ש-$ N+S=M $ אלא אם $ N=M $. תת-מודול האפס הוא תמיד קטן, אבל הטרמינולוגיה עשויה להטעות: אם יש למודול תת-מודול המכיל כל תת-מודול אמיתי אחר, אז הוא קטן.

תכונות

אוסף התת-מודולים הקטנים של מודול $ M $ סגור תחת "כלפי מטה" (כלומר, תת-מודול של תת-מודול קטן הוא קטן בעצמו), וגם תחת סכומים סופיים. אם $ S $ תת-מודול קטן של $ M $, אז הוא תת-מודול קטן של כל מודול המכיל את $ M $. הכיוון ההפוך נכון באופן חלקי מאד: אם $ S $ מוכל במודול $ M $ והוא קטן בסכום ישר $ M\oplus M' $, אז הוא קטן גם ב-$ M $. קטנות נשמרת תחת מנה בתת-מודול קטן, כלומר: אם $ K $ תת-מודול קטן של $ M $ המוכל בתת-מודול $ E $, אז $ E $ קטן ב-$ M $ אם ורק אם המנה $ E/K $ קטנה ב-$ M/K $.

התכונה של תת-מודול להיות קטן ניתנת לאפיון פנימי: $ S $ הוא תת-מודול קטן של מודול כלשהו, אם ורק אם הוא תת-מודול קטן בסגור האינג'קטיבי של עצמו.

סכום תת-המודולים הקטנים של $ R $, כמודול מעל עצמו, הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג. הרדיקל עצמו הוא תת-מודול קטן, ולפי הלמה של נקאימה $ J(R)M $ הוא תת-מודול קטן של $ M $ לכל מודול נוצר סופית $ M $.

ראו גם

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תת-מודול קטן30260279