מודול ארטיני
באלגברה מופשטת, מודול ארטיני הוא מודול M המקיים את תנאי השרשרת היורדת (DCC) על תת-המודולים שלו, ביחס לסדר ההכלה. התכונה נקראת על שם אמיל ארטין.
תכונות
בדומה למודולים נותרים:
- חוג מוגדר כחוג ארטיני אם הוא ארטיני כמודול (שמאלי) מעל עצמו. מעל חוג ארטיני, כל מודול נוצר סופית הוא מודול ארטיני.
- לכל תת-מודול K של מודול M, המודול M ארטיני אם ורק אם K ו- M/K ארטינים.
לפי משפט הופקינס-לויצקי, כל חוג ארטיני הוא גם נותרי. מכיוון שמודולים נוצרים סופית מעל חוג נותרי הם נותרים, אז עבוד חוג ארטיני R, כל מודול נוצר סופית מעל R הוא גם ארטיני וגם נותרי ולכן בעלי אורך סופי.
כל מודול ארטיני (או נותרי) אפשר לפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פרידים (כאלו שאי אפשר לפרק אותם לסכום ישר). אם המודול בעל אורך סופי, אז הפירוק יחיד עד כדי סדר (משפט קרול-רמק-שמידט).
השוואה לתנאי הנותריות
בשונה מחוגים, מודול ארטיני אינו בהכרח נותרי.
מעל חוג קומוטטיבי, כל מודול ארטיני ציקלי הוא גם נותרי, אבל מעל חוגים לא-קומוטטיביים, מודולים ארטיניים ציקליים יכולים להיות מאורך אינסופי (שרשרת הרכב אינסופית).
מודול הוא בעל אורך סופי (כלומר בעל סדרת הרכב סופית) אם ורק אם הוא ארטיני ונותרי.
ראו גם
