לוקליזציה (תורת החוגים)
בתורת החוגים, לוקליזציה (לעיתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש *R והעתקת חוגים מ-R ל-*R כך שכל אחד מאיברי S יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-*R. יתר על כן, דורשים כי *R יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי $ \,S^{-1}R $, או אם $ \,S=R-{\mathfrak {p}} $, כאשר $ {\mathfrak {p}} $ הוא אידאל ראשוני, על ידי $ \,R_{\mathfrak {p}} $.
בנייה עבור חוגים קומוטטיביים
יהי $ R $ חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה $ S $ ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם $ a,b\in S $ אז $ a\cdot b\in S $, וכמו כן נניח כי $ \,1\in S $. על הקבוצה $ \,R\times S $ נחשוב כעל קבוצת שברים $ \,{\frac {r}{s}} $. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי $ (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2}) $ אם קיים $ \,t\in S $ כך ש $ \,t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0\in R $. אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- $ \,r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0 $, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה $ {\frac {0}{1}} $ ואיבר היחידה יהיה $ {\frac {1}{1}} $. (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - $ {\frac {0}{s}},{\frac {s}{s}} $, עם $ s\in S $).
על קבוצת המנה $ \,R\times S/\sim $ נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:
- $ \,{\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}}\qquad \qquad {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\cdot {\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}} $.
על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב $ \,S^{-1}R $ מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של $ S $.
ההעתקה $ \,\phi :R\to S^{-1}R $ הנתונה על ידי $ \phi (r)={\frac {r}{1}} $ היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.
כלליות ומינימליות
אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג $ R' $ אחר עם מונומורפיזם $ \varphi :R\rightarrow R' $ וכך שתמונות איברי $ S $ הפיכים ב $ R' $, אז בהכרח קיים מונומורפיזם $ \psi :{S}^{-1}R\rightarrow R' $. כך ש- $ \varphi =\psi \circ \phi $, כאשר $ \phi $ הוגדרה לעיל.
הוכחה: נגדיר ישירות את $ \psi :{S}^{-1}R\rightarrow R' $ על פי הכלל: $ \psi ({\frac {r}{s}})=\varphi (r){\varphi (s)}^{-1} $. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - $ \psi \circ \phi (r)=\psi (\phi (r))=\psi ({\frac {r}{1}})=\varphi (r){\varphi (1)}^{-1}=\varphi (r) $.
פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים $ {S}^{-1}R $. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים $ R,{S}^{-1}R,R' $, ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.
מבנה כחוג
הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.
ראשית, אם $ I\leq R $ אידאל, גם $ S^{-1}I\leq S^{-1}R $ אידאל. בכיוון ההפוך, אם $ J\leq S^{-1}R $ אידאל, אז $ J=S^{-1}A $ עבור $ A=\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\} $. כלומר, יש התאמה בין אידאלים של החוג לאידאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם $ I\leq R $ אידאל ו-$ S\cap I\neq \phi $, אז $ S^{-1}I=S^{-1}R $ (כי יש בו איבר הפיך).
אם $ R $ חוג נותרי או ארטיני, כך גם $ S^{-1}R $.
ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים $ J\in Spec(S^{-1}R) $ אם ורק אם $ A=\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\}\in Spec(R) $. אם נשכח מכל האידאלים שחותכים את $ S $, נקבל שיש התאמה חד חד ערכית $ \{A\in Spec(R):A\cap S=\phi \}\leftrightarrow Spec(S^{-1}R) $.
התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג $ S^{-1}R $ הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.
במקרה שבו $ S=R-{\mathfrak {p}} $ עם אידאל ראשוני $ {\mathfrak {p}} $, מתקבל החוג $ R_{\mathfrak {p}}=(R-{\mathfrak {p}})^{-1}R $. האידאל המקסימלי הוא $ {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S^{-1}{\mathfrak {p}} $.
דוגמאות
- יהי R תחום שלמות, ותהי $ \,S=R-\{0\} $. במקרה זה $ \,S^{-1}R $ הוא שדה השברים של R.
- אם R תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של $ R[x] $ (חוג הפולינומים) מכיל עותק של $ {(R-\{0\})}^{-1}R $, ושווה לשדה השברים של $ ({(R-\{0\})}^{-1}R)[x] $.
- אם $ R=\mathbb {Z} $ ו-$ S=\mathbb {Z} -p\mathbb {Z} $ כאשר $ p $ ראשוני, נקבל כי $ S^{-1}R=\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b\} $, והאידאל המקסימלי שלו הוא $ {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b,p\mid a\} $.
- אם $ R $ חוג שלם מעל $ C $ (כלומר, כל איבר של $ R $ הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-$ C $) אז $ S^{-1}R $ שלם מעל $ S^{-1}C $ לכל $ S\subseteq C $ כנ"ל.