לוקליזציה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעיתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש *R והעתקת חוגים מ-R ל-*R כך שכל אחד מאיברי S יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-*R. יתר על כן, דורשים כי *R יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי $\,S^{-1}R$, או אם $\,S=R-{\mathfrak {p}}$, כאשר ${\mathfrak {p}}$ הוא אידאל ראשוני, על ידי $\,R_{\mathfrak {p}}$.

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים

יהי $R$ חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה $S$ ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם $a,b\in S$ אז $a\cdot b\in S$, וכמו כן נניח כי $\,1\in S$. על הקבוצה $\,R\times S$ נחשוב כעל קבוצת שברים $\,{\frac {r}{s}}$. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי $(r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})$ אם קיים $\,t\in S$ כך ש $\,t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0\in R$. אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- $\,r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0$, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה ${\frac {0}{1}}$ ואיבר היחידה יהיה ${\frac {1}{1}}$. (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - ${\frac {0}{s}},{\frac {s}{s}}$, עם $s\in S$).

על קבוצת המנה $\,R\times S/\sim$ נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

$\,{\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}}\qquad \qquad {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\cdot {\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}}$.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב $\,S^{-1}R$ מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של $S$.

ההעתקה $\,\phi :R\to S^{-1}R$ הנתונה על ידי $\phi (r)={\frac {r}{1}}$ היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג $R'$ אחר עם מונומורפיזם $\varphi :R\rightarrow R'$ וכך שתמונות איברי $S$ הפיכים ב $R'$, אז בהכרח קיים מונומורפיזם $\psi :{S}^{-1}R\rightarrow R'$. כך ש- $\varphi =\psi \circ \phi$, כאשר $\phi$ הוגדרה לעיל.

הוכחה: נגדיר ישירות את $\psi :{S}^{-1}R\rightarrow R'$ על פי הכלל: $\psi ({\frac {r}{s}})=\varphi (r){\varphi (s)}^{-1}$. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - $\psi \circ \phi (r)=\psi (\phi (r))=\psi ({\frac {r}{1}})=\varphi (r){\varphi (1)}^{-1}=\varphi (r)$.

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים ${S}^{-1}R$. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים $R,{S}^{-1}R,R'$, ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

מבנה כחוג

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם $I\leq R$ אידאל, גם $S^{-1}I\leq S^{-1}R$ אידאל. בכיוון ההפוך, אם $J\leq S^{-1}R$ אידאל, אז $J=S^{-1}A$ עבור $A=\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\}$. כלומר, יש התאמה בין אידאלים של החוג לאידאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם $I\leq R$ אידאל ו-$S\cap I\neq \phi$, אז $S^{-1}I=S^{-1}R$ (כי יש בו איבר הפיך).

אם $R$ חוג נותרי או ארטיני, כך גם $S^{-1}R$.

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים $J\in Spec(S^{-1}R)$ אם ורק אם $A=\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\}\in Spec(R)$. אם נשכח מכל האידאלים שחותכים את $S$, נקבל שיש התאמה חד חד ערכית $\{A\in Spec(R):A\cap S=\phi \}\leftrightarrow Spec(S^{-1}R)$.

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג $S^{-1}R$ הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו $S=R-{\mathfrak {p}}$ עם אידאל ראשוני ${\mathfrak {p}}$, מתקבל החוג $R_{\mathfrak {p}}=(R-{\mathfrak {p}})^{-1}R$. האידאל המקסימלי הוא ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S^{-1}{\mathfrak {p}}$.

דוגמאות

• יהי R תחום שלמות, ותהי $\,S=R-\{0\}$. במקרה זה $\,S^{-1}R$ הוא שדה השברים של R.
• אם R תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של $R[x]$ (חוג הפולינומים) מכיל עותק של ${(R-\{0\})}^{-1}R$, ושווה לשדה השברים של $({(R-\{0\})}^{-1}R)[x]$.
• אם $R=\mathbb {Z}$ ו-$S=\mathbb {Z} -p\mathbb {Z}$ כאשר $p$ ראשוני, נקבל כי $S^{-1}R=\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b\}$, והאידאל המקסימלי שלו הוא ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b,p\mid a\}$.
• אם $R$ חוג שלם מעל $C$ (כלומר, כל איבר של $R$ הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-$C$) אז $S^{-1}R$ שלם מעל $S^{-1}C$ לכל $S\subseteq C$ כנ"ל.

ראו גם

• חוג השברים הקלאסי
• תנאי אור
• חוג מקומי