חוג פרימיטיבי למחצה

בתורת החוגים, חוג פרימיטיבי למחצה (semi primitive ring) הוא חוג שרדיקל ג'ייקובסון שלו שווה לאפס. חוגים אלו מכלילים את החוגים הפרימיטיביים - ואכן, כל חוג פרימיטיבי למחצה סוף ממדי הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים. במקרה הארטיני, תכונה זו שקולה לראשוניות למחצה ולפשטות למחצה, ולפי משפט ודרברן-ארטין החוג שווה לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוג עם חילוק.

הגדרה ומבנה

יהי חוג $R$ . רדיקל ג'ייקובסון שלו הוא חיתוך כל האידיאלים הפרימיטיביים שלו, ששווה גם לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים שלו. החוג נקרא פרימיטיבי למחצה אם רדיקל ג'ייקובסון שלו שווה אפס. לכל חוג $R$ , המנה $R/Jac(R)$ פרימיטיבית למחצה.

הגדרה שקולה: חוג הוא פרימיטיבי למחצה אם ורק אם קיים לו מודול פשוט למחצה ונאמן.

הגדרה אחרת, בעלת אופי פחות כללי (וההגדרה המקורית שג'ייקובסון נתן), היא: החוג נקרא פרימיטיבי למחצה אם הוא מהווה מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים - כלומר, יש שיכון של $R$ בתוך מכפלה המנות הפרימיטיביות שלו: $R\hookrightarrow \prod _{\text{primitive}}{R/P}$ המהווה גם העתקה על כל רכיב. הגדרה זו נגררת מההגדרה הקודמת, אך לא תמיד גוררת אותה.

כל חוג פשוט למחצה הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה.

בעוד חוג קומוטטיבי פרימיטיבי אינו אלא שדה, חוגים קמוטטיביים פרימיטיביים למחצה נפוצים הרבה יותר; בפרט, כל תחום שלמות אפיני הוא פרימיטיבי למחצה.

דוגמאות

חוג השלמים הוא פרימיטיבי למחצה (ולא פשוט למחצה או פרימיטיבי).
חוג האנדומורפיזמים של מרחב וקטורי אינסוף-ממדי הוא פרימיטיבי, ולכן פרימיטיבי למחצה.
$\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q}$ הוא פרימיטיבי למחצה ולא ראשוני; חוג השלמים ה-p-אדיים הוא ראשוני אך לא פרימיטיבי למחצה.
כל תחום (לא בהכרח קומוטטיבי) נוצר סופית מעל שדה לא בן-מנייה הוא פרימיטיבי למחצה. אכן, לפי 'הטריק של עמיצור', רדיקל ג'ייקובסון במקרה זה מוכרח להיות נילי, אך הואיל ומדבר בתחום, הוא מתאפס.

המקרה הארטיני

במקרה שהחוג גם ארטיני, המחלקות הבאות של חוגים מתלכדות - חוג הוא ראשוני למחצה אם ורק אם הוא פרימיטיבי למחצה ואם ורק אם הוא פשוט למחצה. במקרה זה, לפי משפט ודרברן-ארטין, החוג איזומורפי לסכום ישר סופי של מטריצות מעל חוגים עם חילוק. במקרה הלא ארטיני, המחלקות הללו נבדלות זו מזו.

המשפט העיקרי של ודרברן

המשפט העיקרי של ודרברן קובע כי לכל אלגברה $R$ שהיא סוף-ממדית מעל שדה מושלם, העתקת המנה $R\rightarrow R/Jac(R)$ מתפצלת, דהיינו: קיימת תת-אלגברה $S\cong R/Jac(R)$ כך ש- $R=S\oplus Jac(R)$ (סכום ישר של מרחבים וקטוריים, אך לא בהכרח של חוגים).