חוג האנדומורפיזמים
בתורת החוגים, חוג האנדומורפיזמים של חבורה אבלית או מודול $ M $ הוא החוג הכולל את כל האנדומורפיזמים של המודול, כלומר, את כל ההעתקות $ f:M\rightarrow M $ השומרות על מבנה המודול. תפקידו של חוג האנדומורפיזמים בתורת החוגים מקביל לזה של חבורת האוטומורפיזמים בתורת החבורות - האנדומורפיזמים הם הסימטריות של המודול, וחוג האנדומורפיזמים מקודד את הקשרים בין המבנה לבין הסימטריות שלו. מקובל לסמן את חוג האנדומורפיזמים של $ M $ מעל $ R $ ב-$ \operatorname {End} (M_{R}) $.
אנדומורפיזם של חבורה אבלית הוא העתקה שומרת חיבור מן החבורה אל עצמה. כאשר מדובר במודול (שמאלי, מעל חוג $ R $), נוספת הדרישה לכבד את פעולת הכפל בסקלר, כלומר $ f(ax)=af(x) $ לכל $ a\in R $. פעולת החיבור בחוג האנדומורפיזמים מוגדרת נקודתית, כלומר $ (f+g)(x)=f(x)+g(x) $, והכפל הוא הרכבת פונקציות.
חוג האנדומורפיזמים $ S=\operatorname {End} (M_{R}) $ פועל בעצמו על המודול $ M $, וכך $ M $ הופך לבימודול מעל $ R $ משמאל ו-$ S $ מימין. חזרה על בניה זו מייצרת את חוג האנדומורפיזמים $ {\hat {R}}=\operatorname {End} ({}_{S}M) $ של $ M $ מעל $ S $, המצויד בהומומורפיזם טבעי $ \ R\rightarrow {\hat {R}} $, שהוא שיכון אם המודול נאמן. אם המודול פשוט ונאמן, אז תמונת השיכון צפופה (זהו משפט הצפיפות של ג'ייקובסון).
כאשר $ V $ מרחב וקטורי מעל שדה $ F $, האידיאלים היחידים של חוג האנדומורפיזמים מגיעים מהגבלות על הממד של התמונה והגרעין של איברים. יש בניה כללית יותר המתאימה למודולים שיש להם תת-מודולים עיקריים: $ \ \Delta =\{f\in \operatorname {End} (M)|Ker(f)\subseteq _{e}M\} $ הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי) בחוג האנדומורפיזמים.
מודולים שחוג האנדומורפיזמים שלהם מקומי נקראים מודולי LE. חוג האנדומורפיזם הוא מושלם למחצה אם ורק אם המודול הוא סכום ישר של מודולי LE.
ראו גם
חוג האנדומורפיזמים28268227