חוג השברים הקלאסי

בתורת החוגים, חוג השברים הקלאסי של חוג $R$ הוא הרחבה שבה כל איבר רגולרי של החוג המקורי הוא הפיך. חוג השברים הקלאסי קיים אם ורק אם החוג מקיים את תנאי אורה על איברים רגולריים. חוג השברים הקלאסי, כשהוא קיים, מוכל בחוג השברים המקסימלי.

רקע

הבנייה הקלאסית של שדה המספרים הרציונליים כשדה השברים של חוג המספרים השלמים מדגימה תופעה כללית בתורת החוגים הקומוטטיביים: כל תחום שלמות אפשר לשכן בשדה. כלומר, תחום שלמות אפשר להרחיב לחוג שאינו גדול מדי (כל איבר שלו הוא מנה של איברים מן התחום) ואינו קטן מדי (לכל איבר שלו יש בחוג הפכי). חוג השברים הקלאסי נועד להרחיב את התופעה הזו לחוגים לא קומוטטיביים.

הגדרה

חוג השברים הקלאסי (הימני) של חוג $R$ הוא הרחבה $\ R\subseteq Q$ המקיימת שני תנאים: כל איבר רגולרי (היינו, שאינו מחלק אפס) של $R$ הוא הפיך ב- $Q$ ; וכל איבר של $Q$ הוא מהצורה $\ ab^{-1}$ כאשר $\ a,b\in R$ ו- $b$ רגולרי. אם חוג השברים הקלאסי קיים, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

חוג השברים הקלאסי קיים אם ורק אם $R$ מקיים את תנאי אורה (ביחס לאוסף האיברים הרגולריים): לכל $a,b$ כך ש- $b$ רגולרי, קיים איבר רגולרי $y$ כך ש- $\ 0\neq ay\in bR$ . לדוגמה, כל חוג ראשוני נתרי (ימני) וכל חוג ראשוני בעל זהויות מקיימים את התנאי, ולכן יש להם חוג שברים קלאסי.

בניה

הדרך הנקיה ביותר לבנות את חוג השברים הקלאסי היא כאוסף המחלקות של זוגות סדורים $\ (f,U)$ כאשר $U$ אידיאל ימני רגולרי (היינו, כזה המכיל איבר רגולרי), ו- $\ f:U\rightarrow R$ העתקה של מודולים ימניים, עם יחס השקילות המזהה $\ (f,U),(f',U')$ אם יש אידיאל המכיל איבר רגולרי בחיתוך $\ U\cap U'$ שעליו מתלכדות הפונקציות $\ f,f'$ . החיבור מוגדר לפי $\ [f,U][f',U']=[f+f',U\cap U']$ , והכפל לפי $\ [f,U][f',U']=[ff',f'^{-1}U]$ (כדי שהחיתוך של אידיאלים רגולריים יהיה רגולרי יש להניח את תנאי אור).