ז'וזף-לואי לגראנז'

ז'וזף-לואי לגראנז'
Joseph Louis Lagrange

לידה	25 בינואר 1736 טורינו, ממלכת סרדיניה
פטירה	10 באפריל 1813 (בגיל 77) פריז, הקיסרות הצרפתית
מקום מגורים	איטליה, צרפת
הערות	תלמידים מפורסמים: ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה, ג'ובאני פלנה, סימאון דני פואסון

ז'וזף-לואי לגראנז' (בצרפתית: Joseph-Louis Lagrange; ‏25 בינואר 1736 – 10 באפריל 1813) היה מתמטיקאי ואסטרונום איטלקי, שחי מאוחר יותר בצרפת ובפרוסיה. פטרונו של לגראנז' במשך עשרים שנה היה פרידריך השני, שכינה אותו "גדול המתמטיקאים באירופה". על שמו של לגראנז' נקראים עשרות מושגים ובהם משפט הערך הממוצע של לגראנז' בחשבון אינפיניטסימלי, משפט לגראנז' בתורת החבורות, משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' בתורת המספרים; ובמכניקה אנליטית – האופרטור לגראנז'יאן ומשוואות אוילר-לגראנז'.

לגראנז' נחשב למתמטיקאי צרפתי, אך האיטלקים טוענים כי הוא בעצם איטלקי, היות שלמשפחתו יש ענף איטלקי גדול, ולגראנז' עצמו נולד בעיר טורינו שבאיטליה, שם היה אביו פקיד בכיר בחצרו של מלך סרדיניה. למרות מעמדו הבכיר של האב, המשפחה לא הייתה עשירה, עקב הפסדים כספיים כבדים שנחל האב בהשקעות לא מוצלחות. אך ההסתבכות הפיננסית הועילה לעולם המתמטיקה, שכן כעבור שנים אמר לגראנז': "לו הייתי עשיר, לא הייתי מקדיש את חיי למתמטיקה".

לגראנז' היה גם מחלוצי המכניקה האנליטית כאשר פיתח פורמליזם חזק ואלגנטי יותר לחוקי ניוטון, המתבסס על חשבון וריאציות. על בסיס עבודתו פיתח ויליאם רואן המילטון את המכניקה ההמילטוניאנית, שהייתה אבן דרך חשובה בניסוח מתקדם של חוקי הפיזיקה.

ביוגרפיה

השנים הראשונות

לגראנז' נולד ב-1736 בטורינו שבצפון איטליה, בשם ג'וזפה לודוביקו לגראנג'ה (Giuseppe Lodovico Lagrangia). אביו, אשר היה מופקד על אוצר צבא ממלכת סרדיניה, היה אמיד ובעל מעמד חברתי גבוה, אך עוד לפני שבנו התבגר, הוא איבד את מרבית רכושו בספקולציות, ולגראנז' הצעיר נאלץ לסמוך על יכולותיו שלו. הוא התחנך במכללה של טורינו, ורק כאשר מלאו לו שבע-עשרה שנה החל להראות סימני עניין במתמטיקה. עניינו בנושא התעורר בעקבות דיווח של אדמונד היילי אשר בו נתקל במקרה. ללא עזרה ובודד השליך עצמו ללימודי מתמטיקה; בסוף שנה של לימודים בעמל רב ורצוף הוא כבר היה מתמטיקאי מוצלח ונעשה מרצה בבית הספר לארטילריה.

לגראנז' לא למד מתמטיקה באופן מסודר, והדבר ניכר במאמר הראשון שחיבר, בגיל תשע-עשרה שנה, שעסק באנלוגיה בין משפט הבינום לכלל לייבניץ. הוא אף העז ושלח את מאמרו ללאונרד אוילר. זמן קצר לאחר מכן, גילה כי התוצאה אליה הגיע כבר הופיעה בהתכתבות בין לייבניץ ויוהאן ברנולי. חרף התחלה בלתי מרשימה זו, הוא המשיך לעסוק במחקר, וב-1754 מצא פתרון לבעיית ההיקף הקבוע, שהייתה נושא לדיון במשך כחמישים שנה. שוב שלח את עבודתו לאוילר.

אוילר זיהה את הכלליות של השיטה שבה השתמש לגראנז' וכן את עליונותה על שיטתו; ובמחווה נדירה הוא עיכב מאמר שכתב לפני כן כדי שללגראנז' יהיה מספיק זמן להשלים את עבודתו, המהווה בסיס לענף הידוע היום בשם "חשבון וריאציות". את השם לענף החדש במתמטיקה הציע אוילר. צעד זה הציב את לגראנז' בשורה הראשונה של המתמטיקאים בתקופתו.

Miscellanea Taurinensia

ב-1755, והוא בן 19 בלבד, מונה לגראנז' לפרופסור למתמטיקה באוניברסיטה של טורינו, העיר שהייתה לימים (1861) עיר הבירה הראשונה של איטליה המאוחדת. כעבור זמן קצר הוצעו לו משרות אקדמיות יוקרתיות יותר, אך הוא העדיף להישאר בעיר מולדתו, שם הייתה לו האפשרות לעסוק במתמטיקה בשלווה. במשך השנים הבאות פרסם שורה של מאמרים חשובים בתחומים שונים במתמטיקה ובפיזיקה.

בשנת 1758 ייסד לגראנז' חברה בעזרת כמה מתלמידיו, שלאחר מכן אוחדה לאקדמיה של טורינו, ומרבית מכתביו המוקדמים נמצאים בחמשת הכרכים הראשונים של פעולותיה, אשר נקראים בשמם "Miscellanea Taurinensia". רבים מהם הם מאמרים מדעיים סבוכים. בכרך הראשון נמצא מאמר בנושא התקדמות גלי קול; שם הוא מתקן טעות שעשה ניוטון, מקבל את המשוואה הדיפרנציאלית הכללית של התקדמות הקול בחומר (משוואת הגלים), ואף מביא פתרון שלה עבור תנועה בקו ישר. בספר זה הוא גם נותן פתרון מלא לבעיית המיתר המוחזק בקצותיו. במאמר זה הוא מצביע על חוסר כלליות בפתרונות של טיילור, ד'אלמבר ואוילר ומגיע למסקנה שצורת המיתר בכל רגע נתון $\ t$ נתונה על ידי $\ y=a\sin(mx)\sin(nt)$. המאמר מסיים בדיון בהדים, פעימות וצלילים מורכבים. מאמרים אחרים בכרך זה הם על סדרות מתכנסות, הסתברות ועל חשבון וריאציות.

הכרך השני מכיל מאמר ארוך שמכיל תוצאות של כמה מאמרים מהראשון על תורת הסימונים בחשבון הווריאציות והוא גם מראה את שימושו על ידי הסקה של עקרון הפעולה המינימלית ועל ידי פתרון של כמה בעיות בדינמיקה.

הכרך השלישי מכיל פתרונות של כמה בעיות בדינמיקה בדרך של חשבון וריאציות, כמה מאמרים על חשבון אינטגרלי, פתרון לבעיה שהציג פרמה שהיא מציאת מספר $\ x$ כך ש-$\ nx^{2}+1$ יהיה ריבוע שלם, כאשר $\ n$ הוא שלם נתון שאיננו ריבוע, וגם את המשוואות הדיפרנציאליות של תנועת שלושה גופים הנעים תחת השפעת משיכה הדדית.

בעיות בריאות

בשנת 1761 נחשב לגראנז' כאחד המתמטיקאים הגדולים ביותר שחיו בתקופה, אך המאמץ הבלתי פוסק של תשע השנים שחלפו השפיע רבות על בריאותו ורופאיו לא הסכימו להיות אחראים יותר לבריאותו אם לא ינוח ויתאמן. אף על פי שבריאותו הוטבה באופן זמני, עצביו מעולם לא חזרו לתקנם, והוא סבל מהתקפות של מלנכוליה.

עבודתו הבאה ב-1764 על תנודות הירח (ליברציה) וההסבר מדוע אותן פנים של הירח תמיד פונות לכדור הארץ, בעיה שהוא פתר בעזרת עבודה וירטואלית. הפתרון שלו מעניין במיוחד כיוון שהוא כולל את תחילת הרעיון של משוואות תנועה כללית, אותן הוא ניסח לראשונה באופן פורמלי ב-1780.

חצר המלך

לגראנז' החל בנסיעה ללונדון, אך נפל למשכב בפריז. הוא התקבל שם בכבוד רב, אך בהמשך נאלץ לעזוב את החברה המבריקה של עיר זו ולחזור לחיים הפרובינציאליים של טורינו. אף על פי כן, המשך שהייתו בפיימונטה הייתה קצרה. ב-1766 כתב לו פרידריך הגדול שהוא, "המלך הגדול של אירופה", מעוניין לארח אותו, "המתמטיקאי הגדול של אירופה", בחצרו. לגראנז' הסכים להצעתו ובילה את עשרים השנים הנותרות בפרוסיה, שם הוא חיבר מספר רב של מאמרים שפורסמו בברלין ובטורינו, ואת עבודתו המונומנטלית "מכניקה אנליטית" (Méchanique Analytique).

בברלין החליף לגראנז' את אוילר כראש המחלקה למתמטיקה באוניברסיטת ברלין. שם המשיך בעבודתו בעיקר בתחום האסטרונומיה, וזכה במספר פרסים חשובים על עבודותיו. עם זאת עסק גם בתחומים אחרים. הוא הוכיח מספר משפטים חשובים בתורת המספרים, ובהם את משפט ארבעת הריבועים, האומר כי כל שלם חיובי הוא סכום של ארבעה ריבועים. הוא גם חקר משוואות ממעלה רביעית, והראה מדוע משוואות אלה ניתנות לפתרון בעזרת שורשים. עבודה זו מהווה את הבסיס לתורת החבורות.

לגראנז' היה חביב המלך, שהיה משוחח עמו רבות על היתרונות של חיים רגילים. את הלקח לגראנז' למד, ומאז לימד את נפשו ואת גופו כאילו היו מכונות, ומצא בדרך של ניסוי את כמות העבודה שהוא מסוגל לעשות מבלי להישבר. בכל לילה היה שם לעצמו מטרה ממשית ליום המחרת, ובסיום כל ענף בנושא שכתב, היה כותב סיכום כדי לראות אילו נקודות בהדגמה או בחומר היו ניתנות לשיפור. הוא תמיד חשב על נושא המאמרים שלו עד הסוף והיה כותב אותם ללא מחיקות כלל.

במשך שנותיו בברלין הידרדר מצבו הבריאותי, ומצבה של רעייתו אף החמיר אף יותר. לאחר מותה ב-1783 שקע לגראנז' בדיכאון, ושהותו בברלין שוב לא הייתה מאושרת כמקודם.

אוניברסיטאות רבות ניסו לפתותו לשוב לאיטליה, אך ב-1787 החליט לעבור דווקא לפריז, שם הוצעה לו באקדמיה למדעים משרה שלא כללה חובת הוראה. הוא בילה שם את שארית הקריירה שלו, ואף שרד את המהפכה הצרפתית, הודות לאופיו הקונפורמיסטי וכן הודות לעובדה שהשלטונות הצרפתיים עצמם היו מעוניינים לשמור על שלומו, ופטרו אותו ממספר גזירות שהוטלו על נתינים זרים. הוא המשיך בעבודתו, ופרסם מספר ספרים שסיכמו את תרומותיו למדע. נפוליאון העניק לו את אות לגיון הכבוד, וכן תואר אצולה.

לגראנז' מת בפריז ב-10 באפריל 1813. זכרו מונצח בלוח הזיכרון שעל מגדל אייפל, ועל שמו נקראים רחובות בפריז ובטורינו. שלל מונחים בפיזיקה ומתמטיקה, לרבות משפטי לגראנז' קרויים על שמו.

אחד ממכתשי הירח, ואסטרואיד 1006 Lagrangea קרויים על שמו.

עבודות

פעילויות המחשבה שלו בזמן אותן עשרים שנה היו יוצאות דופן. לא רק שהוא יצר את "Méchanique Analytique", הוא אף תרם בין מאה למאתיים מאמרים לאקדמיות של ברלין, טורינו ופריז. כמה מהם הן למעשה עבודות מקיפות, וכולן ללא יוצא דופן בעלות מידה רבה של מצוינות. חוץ מתקופה קצרה בה היה חולה, כשאז הוציא בממוצע מאמר אחד בחודש. מבין אלו, העבודות הבאות חשובות במיוחד:

ראשית, תרומתו את הכרכים הרביעי והחמישי של ה-"Miscellanea Taurinensia"‏ (1766–1773). החשוב מביניהם הוא כרך מ-1771, שבו הוא משוחח על מספר תצפיות אסטרונומיות שצריכות להיות משולבות כדי להשיג את התוצאה הסבירה ביותר. ומאוחר יותר, תרומתו של מאמר על לחץ שמפעילים נוזלים בתנועה, והשני על אינטגרציה בעזרת סדרות אינסופיות, וסוג הבעיות שבהן השיטה בת-יישום.

רוב מאמריו שנשלחו לפריז היו על בעיות אסטרונומיות, ומבין אלו יש לציין במיוחד את מאמרו על מערכת הירחים של צדק ב-1766, חיבורו על הבעיה התלת גופית ב-1772, עבודתו על "המשוואה הסקולרית של תנועת הירח" ב-1773, שתיארה את השינויים במחזוריות ההקפה שלו סביב כדור הארץ, ואת עבודתו על ההפרעות שגורמים כוכבי הלכת בזמני המחזור של השביטים ב-1778. אלה היו כולם כתובים על נושאים של האקדמיה הצרפתית, ובכל אחד ממקרים אלה הפרס ניתן לו.

אלגברה

אף על פי כן, רוב מאמריו בתקופה זו נתרמו לאקדמיה של ברלין. אחדים מהם עוסקים בשאלות באלגברה. בפרט:

• דיון על פתרון במספרים שלמים של משוואות בעלות אינסוף פתרונות (1769 ו-1770)
• מאמר בנושא תורת האלימינציה 1770
• מאמר על פתרון כללי למשוואה אלגברית מכל מעלה (1770, 1771); שיטה זו נכשלת במשוואות ממעלה גדולה מ-4
• פתרון מלא של משוואה בינומית מכל מעלה (נכלל במאמר לעיל)
• לבסוף, ב-1773, טיפולו בדטרמיננטות מסדר 2 ו-3.

תורת המספרים

חלק ממאמריו המוקדמים עוסקים בשאלות הקשורות בתורת המספרים. מבין אלו יצוינו:

• הוכחה שכל מספר שלם שאינו ריבועי ניתן להציג כסכום של שניים, שלושה או ארבעה ריבועים שלמים (משפט ארבעת הריבועים) (1770).
• הוכחה של משפט וילסון שאם $\,n$ ראשוני אז $\,(n-1)!+1$ מתחלק ב-$\ n$ (1771).
• כתביו ב-1773, 1775 וב-1777, אשר מדגימים חלק מהתוצאות שהוזכרו על ידי פרמה ללא הוכחה.
• דרך למציאת הגורמים של מספרים מהצורה $\,x^{2}+ay^{2}$.
• הוכחת משפט לגראנז'

נושאים מתמטיים נוספים

ישנם גם מספר מאמרים שכתב על נקודות שונות בגאומטריה אנליטית. בשנים 1772–1785 תרם מאמרים רבים שיצרו את ענף המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות. חלק גדול ממאמרים אלו נאספו במהדורה השנייה של ספרו של אוילר "חשבון אינטגרלי", שפורסם ב-1794.

מאמריו של לגראנז' בנושא המכניקה מוזכרים להלן.

אסטרונומיה

לבסוף, ישנם מספר מאמרים על מספר בעיות באסטרונומיה. מביניהן, החשובות ביותר הן:

• עבודה על המשיכה של אליפסואידים, 1773: מבוססת על עבודתו של מקלורין.
• הצגת רעיון הפוטנציאל ב-1777.

מכניקה אנליטית

בחיבורו "מכניקה אנליטית", לגראנז' הציג את עקרון העבודה הווירטואלית, ומעיקרון יסודי יחיד זה (כמו גם בעזרת הענף החדש של חשבון הווריאציות), הוא הסיק את כל התוצאות של מדע המכניקה, הן של מוצקים והן של זורמים; שיטת הקואורדינטות המוכללות שהציג, אשר בעזרתה השיג תוצאה זאת, נחשבת לעיתים לאחד ההישגים המזהירים ביותר של האנליזה שלו. במקום להתחקות אחר התנועה של כל אלמנט מסה של מערכת חומרית, כפי שדלאמבר ואוילר עשו, הוא הראה, שאם מציגים את מצבה של המערכת על ידי קבוצת משתנים בלתי תלויים שמספרם הוא כמספר דרגות החופש הגלומות במערכת, אז האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של המערכת ניתנות לביטוי לפי המשתנים הללו, ושהמשוואות הדיפרנציאליות של התנועה ניתנות להסקה מפעולת גזירה פשוטה. למשל, בטיפולו בבעיה מסוימת בדינמיקה של גוף קשיח הוא החליף את הטיפול בבעיה בטיפול כללי יותר, תוך ניסוח משוואה כללית שכעת נכתבת בצורה:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}+{\frac {\partial V}{\partial \theta }}=0,$

כאשר T מייצגת את האנרגיה הקינטית ו-V מייצגת את האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת. לאחר מכן הוא הציג את השיטה שכעת ידועה כשיטת כופלי לגראנז' - אף על פי שזו לא הפעם הראשונה שהיא הוצגה - כאמצעי לפתור את המשוואה הזאת. בחיבורו, לא רק שלגראנז' הציג עקרונות כלליים, אלא גם הדגים איך לפתור בעזרתם בעיות מכניות מורכבות שונות; למשל, הוא ערך אנליזה מתמטית לבעיית הסביבון הלא יציב. כמו כן, יישום מוצלח במיוחד לעקרונותיו החדשים היה לפתרון בעיות הידרודינמיות; למשל, באמצעות תיאור מוכלל של תנועת זורמים, השיג את הפתרון המתמטי הראשון בתאוריה הליניארית של גלי מים. בין משפטים חשובים אחרים ראוי לציין את הטענה שהאנרגיה הקינטית המועברת למערכת על ידי מתקפים קצרים תחת אילוצים נתונים היא מרבית, ואת עקרון הפעולה המינימלית. כל האנליזה שערך נראית כה אלגנטית שסר ויליאם רואן המילטון הצהיר פעם שניתן לתאר את העבודה כולה בצורה לא אחרת מאשר כפואמה מדעית. לגראנז' הדגיש שמכניקה מתקדמת היא ענף של מתמטיקה טהורה האנלוגי לגאומטריה של ארבעה ממדים; כלומר שיש להתייחס לשלוש הקואורדינטות המרחביות כמו גם לקואורדינטה זמנית אחת; והוא התגאה בכך שלא ניתן למצוא ולו דיאגרמה אחת מתחילת הספר ועד סופו.

ראו גם

• נקודת לגראנז'
• לגראנז'יאן
• כופלי לגראנז'
• משפט לגראנז' (תורת החבורות)
• משפט הערך הממוצע של לגראנז'
• משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'
• זהות לגראנז'

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ז'וזף-לואי לגראנז' בוויקישיתוף

• ז'וזף-לואי לגראנז', באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה
• ז'וזף-לואי לגראנז', באתר MacTutor (באנגלית)
• Lectures on Elementary Mathematics, בפרויקט גוטנברג (באנגלית)
• ז'וזף-לואי לגראנז', באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• כתבי ז'וזף-לואי לגראנז' בפרויקט גוטנברג (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32009350ז'וזף-לואי לגראנז'