זהות לגראנז'

באלגברה, זהות לגראנז היא זהות מתמטית הקובעת שסכום ריבועי המרחקים מקודקודי משולש לצלע הנגדית שווה לארבע פעמים שטח המשולש. זהות זו נקראת על שם המתמטיקאי ז'וזף-לואי לגראנז', מתמטיקאי ופיזיקאי מהמאה ה-18, שפרסם לראשונה את התוצאה בחיבור בעל 2 כרכים שלו Mécanique Analytique משנת 1788.

ומתוארת כך :

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\end{aligned}}}

עבור שתי קבוצות של מספרים a_n ו-b_n, ממשיים או מרוכבים.

בסימון וקטורי, ניתן לבטא את זהות לגראנז' בצורה הברה:

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\,\end{aligned}}}

כאשר $a,b\in R_{n}$

ניתן להוכיח את הזהות על ידי ציור גובה מכל קודקוד של המשולש לצד הנגדי, ויוצרים שלושה משולשים קטנים יותר. משולשים קטנים יותר אלו ידועים בשם "משולשי הגובה". שטח המשולש המקורי שווה לסכום השטחים של משולשי הגובה הללו. לפי משפט פיתגורס, ריבוע אורך הגובה מכל קודקוד שווה למכפלת אורכי שתי צלעות המשולש הצמודות לאותו קודקוד, פחות ריבוע אורך הצלע המנוגדת לזה. קָדקוֹד. לפיכך, סכום הריבועים של אורכי הגבהים שווה לארבע פעמים שטח המשולש.

שימושים

לזהות של לגראנז' יש מספר יישומים חשובים בגיאומטריה. לדוגמה, ניתן להשתמש בו כדי לחשב את רדיוס ההיקף של משולש, שהוא רדיוס המעגל העובר בכל שלושת קודקודי המשולש. ההיקף קשור לאורכים של צלעות המשולש בנוסחה:

$R=abc/4K$ כאשר $R$ הוא הרדיוס $c$ $a$ הם אורכי צלעות המשולש, ו $K$ הוא שטח המשולש. החלפת הביטוי ל $K$ מהזהות של לגראנז' בנוסחה זו נותנת דרך פשוטה לחשב את ההיקף במונחים של אורכי הצלעות.

זהותו של לגראנז' שימושית גם בפתרון בעיות הכרוכות בהצטלבות של קווים ומעגלים. לדוגמה, ניתן להשתמש בו כדי לקבוע את נקודות החיתוך של ישר ומעגל, או כדי לקבוע אם ישר משיק למעגל.