פוטנציאל אפקטיבי

במכניקה, פוטנציאל אפקטיבי (או: אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית) מאפשר להעביר בעיה רב ממדית למימד אחד, על ידי שימוש בתכונות שימור של מערכות פיזיקליות, בפרט שימור תנע זוויתי ואנרגיה. הפוטנציאל האפקטיבי מסומן לרוב כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U_{eff} } . יישום אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית מאפשר לפשט את בעיית שני הגופים המתארת תנועה של גופים בחלל כגון לוויינים, כוכבי לכת ואף כוכבים כפולים. השימוש בפוטנציאל אפקטיבי אפשרי כאשר פועל במערכת הפיזיקלית כוח מרכזי וניתן לתאר את התנועה סביב מרכזו באמצעות מערכת קואורדינטות קוטביות.

הגדרה

הפוטנציאל האפקטיבי עבור בעיית כוח מרכזי מוגדר כ: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(r) } היא האנרגיה פוטנציאלית ה"רגילה" ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L } הוא התנע הזוויתי.

על ידי שימוש בפוטנציאל האפקטיבי ניתן לתאר את האנרגיה הכוללת של גוף בשדה מרכזי או בבעיית שני גופים רק כתלות במרחק ביניהם ובנגזרתו; שאר הגדלים בניסוח זה הם קבועי תנועה.

דוגמה: האנרגיה הפוטנציאלית האפקטיבית עבור גוף בשדה כבידה ניוטוני

הפוטנציאל הכבידתי (על פי תורת הכבידה של ניוטון) זה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(r) = -G \frac{mM}{R}\ }

לכן הפוטנציאל האפקטיבי הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} -G \frac{mM}{R}\ }

צורת כתיבה זו מאפשרת כתיב מקוצר ויעיל עבור האנרגיה כפי שיתואר להלן:

האנרגיה של גוף בעל מסה m הנע תחת כוח הכבידה המרכזי הניוטוני (כלומר בהתאם לתורת הכבידה של ניוטון) מנוסחת במערכת הקואורדינטות הקוטביות כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\right) - \frac{GmM}{r},}

כאשר:

r הוא המרחק בין המסות.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{r}} היא המהירות הרדיאלית (קצב שינוי המרחק בין המסות)

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\phi}} היא המהירות הזוויתית

G הוא קבוע הכבידה

E היא האנרגיה הכוללת של הגוף

גודל נוסף הנשמר בתנועה בכוח מרכזי הוא התנע הזוויתי המסומן ב-L והמנוסח במערכת הקואורדינטות הקוטביות כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = mr^2\dot{\phi}}

מן התנע הזוויתי ניתן לחלץ את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\phi}} ולהציבו באנרגיה, וכך נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \frac{m\dot{r}^2}{2} +\frac{L^2}{2mr^2}- \frac{GmM}{r},}

כעת, במקום שני האיברים האחרונים אפשר להכניס את הביטוי לפוטנציאל האפקטיבי שמצאנו למעלה וכך נקבל ביטוי פשוט יותר עבור האנרגיה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \frac{m\dot{r}^2}{2} +U_{eff}(r)}

צורת כתיבה זו אינה רק נוחה יותר אלא גם נותנת נקודת מבט שונה שלפיה ניתן להתייחס לסכום של האנרגיה הפוטנציאלית "האמיתית" והחלק של האנרגיה הקינטית שנובע מן המהירות הזוויתית, כאנרגיה פוטנציאלית אחת (האפקטיבית), ואז האנרגיה תהיה מורכבת מאנרגיה קינטית (של המהירות הרדיאלית בלבד) + האנרגיה הפוטנציאלית האפקטיבית.