דינמיקה (מכניקה)

דינמיקה היא ענף במכניקה קלאסית. הדינמיקה עוסקת בתנועת גופים, להבדיל מסטטיקה שעוסקת בגופים נייחים.

בדינמיקה נכללים שני ענפים:

• קינמטיקה - ענף העוסק בניתוח של תנועת גוף בזמן, תוך התעלמות מהגורמים לתנועה.
• קינטיקה - ענף העוסק בגורמים לתנועת גוף.

הדינמיקה מבוססת על חוקי התנועה של ניוטון. לפתרון בעיה דינמית שעוסקת בגופים הנעים במהירות המתקרבת למהירות האור יש לעשות שימוש בדינמיקה של תורת היחסות הפרטית.

במכניקת הקוונטים הדינמיקה עשויה להתייחס למידת הקוונטיזציה של הכוחות, כגון אלקטרודינמיקה קוונטית וכרומודינמיקה קוונטית.

פתרון בעיות דינמיות

בפתרון בעיות דינמיות (לפי המכניקה הקלאסית) יש להבדיל בין גוף נקודתי, מערכת חלקיקים וגוף קשיח (בבעיות גוף קשיח יש להתחשב במומנט התמד). בהתאם לאילוצים, ניתן לנסח לבעיה משוואות קינמטיות המתארות קשרים (קשר מרחב-זמן) בין מיקום, מהירות ותאוצה בזמן (בין אם מדובר בתנועה קווית, זוויתית או כללית).

כמו כן, ניתן לנסח משוואות קינטיות: משוואות ניוטון-אוילר (הראשונה מתארת את הקשר בין סך הכוחות לתאוצה קווית, והשנייה מתארת את הקשר בין סך המומנטים לתאוצה זוויתית), משוואות שימור אנרגיה, שימור תנע קווי או שימור תנע זוויתי.

שימור אנרגיה מתקיים בהיעדר כוחות לא משמרים (בפשטות: כאשר לא מתבצעת עבודה), אחרת, יש לכלול את עבודות הכוחות הלא משמרים במשוואת שימור האנרגיה. שימור תנע קווי מתקיים בהיעדר כוחות-כאשר בכיוון מסוים שקול הכוחות שווה לאפס, בכיוון זה מתקיים שימור תנע קווי. שימור תנע זוויתי מתקיים בהיעדר מומנטים-בדומה לשימור תנע קווי, ניתן להגדיר שימור תנע זוויתי בכיוון מוגדר.

דוגמה: מכונת אטווד

קובץ:Atwood.svg

דיאגרמת כוחות של שתי המסות התלויות במכונת אטווד. התאוצה מסומנת תחת ההנחה ש-m₁ מאיץ מטה ו-m₂ מאיץ מעלה, כפי שצפוי אם אכן m1 > m2. המתיחות בשני קצוות החבל זהה מתוך הנחה שמסת החבל זניחה.

במכונת אטווד, שני גופים בעלי מסות שונות, m₁ ו-m₂ קשורים בחוט בעל מסה זניחה משני צדי גלגלת. בלי הגבלת הכלליות, נניח כי m₁>m₂, ולכן m₁ תאיץ מטה ו־m₂ תאיץ מעלה (באותה תאוצה).

ניתוח משיקולי כוחות

על כל אחת מהמסות פועלים כח הכבידה והמתיחות (מסומנת ב־T), לכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_1 g - T = m_1 a}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T-m_2 g = m_2 a}

מחיבור בין שתי המשוואות מתקבל:$g\cdot (m_{1}-m_{2})=a(m_{2}+m_{1})$,כלומר, התאוצה במערכת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a = g \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}}

אם במקום m₂ נסמן m ובמקום m₁ נסמן km (כלומר, k הוא היחס בין המסות), נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a = g \frac{k-1}{k+1} }

כלומר התאוצה לא תלויה במסות אלא רק ביחס ביניהן.

בעזרת התאוצה ותנאי ההתחלה (במקרה זה נניח x₀=0, v₀=0), הקינמטיקה נותנת משוואות המתארות את המיקום והמהירות כפונקציה של הזמן:

$v=at$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\frac{1}{2}at^2}

או מהירות כפונקציה של מיקום:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^2=2ax}

משיקולי אנרגיה

תחת אותם תנאי התחלה, שני הגופים נמצאים במנוחה באותו הגובה, כך שהאנרגיה במצב ההתחלתי היא 0. במצב הסופי, לגבי גוף 1:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1=\frac{1}{2}m_1v^2-m_1gh+W_{T,1}}

כאשר v היא מהירותו של גוף 1, h הוא הגובה שירד הגוף, ו־W_T,1=-Th היא העבודה שביצע החבל על הגוף. באופן דומה, לגבי גוף 2:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2=\frac{1}{2}m_2v^2+m_2gh+W_{T,2}} ,

בהנחה שמהירות הגופים שווה, והמרחק אותו עברו שניהם שווה. במקרה זה, W_T,2=+Th, בסימן חיובי, כי עבודת המתיחות שוות כיוון לתנועת גוף 2. מתוך שיקולי שימור אנרגיה,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1+E_2=0}

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Rightarrow \left({\frac {1}{2}}m_{1}v^{2}-m_{1}gh-Th\right)+\left({\frac {1}{2}}m_{2}v^{2}+m_{2}gh+Th\right)=0}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2=m_1gh-m_2gh}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow v^2=2g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}h}

שזהה לתוצאה שקיבלנו משיקולי כוחות, אך ללא תלות מפורשת בזמן.

ראו גם

• דינמיקה קוונטית
• מכניקת הזורמים
• אנרגיה קינטית

קישורים חיצוניים

• Motion in a Straight Line – סרטון הסבר על פיזיקה ודינמיקה עבור תנועה בקו ישר מתוך CrashCourse (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.