במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע , ערך הפונקציה מוכפל ב־.
הגדרה מפורטת
תהי פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה , ויהי מספר שלם. אזי הפונקציה תיקרא הומוגנית מסדר אם לכל שונה מאפס, ולכל .
כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר כאשר הדרישה צריכה להתקיים רק עבור חיובי, ו- יכול להיות כל מספר מרוכב.
דוגמאות
העתקות ליניאריות
כל העתקה ליניארית היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: לכל ולכל .
פולינומים הומוגניים
כל מונום (חד-איבר) ב- משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית . לדוגמה שטח של ריבוע - - הוא מונום הומוגני מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר .
סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: הוא פולינום הומוגני מסדר 5.
פונקציות רציונליות
הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם הוא פולינום הומוגני מסדר ו- הוא פולינום הומוגני מסדר , אזי היא פונקציה הומוגנית מסדר בכל הנקודות חוץ מבשורשים של .
פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון: , מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.
פונקציות הומגניות חלקיות
לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית - - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - , לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים .
במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר פרק זמן נתון על ידי , ובעוד שמתקיים , קרי היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור , היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.
משפט אוילר לפונקציות הומוגניות
ניסוח המשפט
תהי פונקציה חלקה אזי הומוגנית חיובית מסדר אם ורק אם:
- .
הוכחה
: תהי פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: . נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: .
מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל , נציב ונקבל: .
: תהי פונקציה חלקה המקיימת לכל .
נבחר כלשהו ונגדיר: .
כעת: .
נציב: .
ונקבל: . לכן היא פונקציה קבועה.
נשים לב ש: לכן לכל מתקיים . כלומר [1]
תוצאה
עבור פונקציה גזירה והומוגנית חיובית מסדר נקבל ש- היא הומוגנית מסדר . כלומר:
- .
תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי . שכן על פי משפט אוילר:
- .
נגזור לפי ונקבל:
- .
ולכן:
- . הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ המשפט לא תקף עבור משום ש- לא מוגדרת בנקודה .
33141373פונקציה הומוגנית