גרעין (אלגברה)

באלגברה מופשטת, הגרעין של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האברים שההומומורפיזם מעביר אל האבר הנייטרלי. הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה $f:A\to B$ ב-$\operatorname {Ker} (f)$ או $\ker(f)$.

דוגמאות

• אם $\ T:V\rightarrow W$ הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו $\ \operatorname {Ker} (T)=\{v\in V:T(v)=0\}$ הוא תת-מרחב של $\ V$, שממדו $\ \dim(V)-\operatorname {rank} (T)$.
• אם $\ f:G\rightarrow H$ הומומורפיזם של חבורות, הגרעין $\ \operatorname {Ker} (f)=\{x\in G:f(v)=1\}$ הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה $\ G/\operatorname {Ker} (f)$ איזומורפית לתמונה $\ \operatorname {Im} (f)$.
• אם $\ f:R\rightarrow S$ הומומורפיזם של חוגים, הגרעין $\ \operatorname {Ker} (f)=\{x\in R:f(v)=0\}$ הוא אידאל דו-צדדי, וחוג המנה $\ R/\operatorname {Ker} (f)$ איזומורפי לתמונה $\ \operatorname {Im} (f)$.
• אם $\ f:M\rightarrow N$ הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין $\ \operatorname {Ker} (f)=\{x\in M:f(v)=0\}$ הוא תת-מודול של $\ M$, ומודול המנה $\ M/\operatorname {Ker} (f)$ איזומורפי לתמונה $\ \operatorname {Im} (f)$.
• ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה עם נקודה (pointed set). אם $f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז $\operatorname {Ker} (f)=\{x\in X\ :\ f(x)=y_{0}\}$.

ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.

ראו גם

• מרחב פתרונות