הומומורפיזם

ערך זה עוסק בהעתקה משמרת באלגברה. אם התכוונתם להעתקה משמרת בלוגיקה מתמטית, ראו הומומורפיזם (לוגיקה).

באלגברה, הומומורפיזם הוא פונקציה בין מבנים אלגבריים מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים). הומומורפיזם מתרגם תכונות מסוימות של המבנה הראשון אל המבנה השני. הומומורפיזם הפיך נקרא איזומורפיזם.

דוגמאות

הומומורפיזם בין חבורות הוא פונקציה $\varphi \colon G\rightarrow H$ שעבורה $\,\!\varphi (g_{1}\cdot g_{2})=\varphi (g_{1})\star \varphi (g_{2})$ לכל $g_{1},g_{2}\in G$ . הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של $G$ , ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של $H$ . מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של $G$ עובר לאיבר היחידה של $H$ , וההפכי עובר להפכי.
הומומורפיזם בין מרחבים ליניאריים נקרא העתקה ליניארית. זוהי פונקציה מן הווקטורים של מרחב $V$ מעל שדה $F$ , אל הווקטורים של מרחב $W$ מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: $\varphi (v_{1}+v_{2})=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})$ (לכל שני וקטורים $v_{1},v_{2}\in V$ ) ו- $\varphi (\alpha \cdot v)=\alpha \cdot \varphi (v)$ (לכל וקטור $v\in V$ וסקלר $\alpha \in F$ ). אותן דרישות, בהחלפת השדה $F$ בחוג כלשהו $R$ , מגדירות הומומורפיזם בין מודולים. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל איבר האפס של השני, משום שהדרישה נובעת מן הדרישות האחרות.
הומומורפיזם בין חוגים הוא פונקציה $\varphi \colon R\rightarrow S$ (כאשר $R,S$ הם חוגים עם יחידה), השומרת על החיבור והכפל, ומעבירה את איבר היחידה של $R$ לאיבר היחידה של $S$ . תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- $R$ ו- $S$ יש איבר יחידה, ו- $S$ הוא תחום שלמות, או ש- $f$ היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.

הגרעין והתמונה

נניח ש- $\varphi \colon A\rightarrow B$ הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. התמונה היא אוסף האיברים $\operatorname {im} (\varphi )$ של $B$ המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי $A$ . אם יש למבנה איבר נייטרלי מובחן (איבר היחידה של חבורה, האפס של חוג, מרחב וקטורי, או מודול), אוסף הווקטורים $\ker(\varphi )$ של $A$ העוברים אל האיבר הנייטרלי נקרא הגרעין של ההומומורפיזם. לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של תורת הקטגוריות.

בחבורות, לדוגמה, התמונה היא תת-חבורה של $B$ , ואילו הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של $A$ .

קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה (חבורת מנה, חוג מנה, מודול מנה), ואז מתקיים משפט האיזומורפיזם הראשון: $A/\ker(\varphi )\cong \operatorname {im} (\varphi )$ .