משפט קיילי

בתורת החבורות, משפט קיילי קובע שכל חבורה סופית איזומורפית לתת חבורה של חבורה סימטרית כלשהי, וכך מציג את החבורה כחבורת תמורות. המשפט מראה שאפשר ללמוד את כל החבורות הסופיות באמצעות טיפול אחיד בתמורות, והוא נחשב לאחד מ"משפטי ההצגה" הקלאסיים: כל עצם מופשט (חבורה) הוא למעשה אובייקט קונקרטי ומוכר.

היסטוריה

בעבודתו של אווריסט גלואה (בסביבות 1830), החבורה נתפסת כקבוצה קונקרטית של תמורות. ב-1854 כתב המתמטיקאי ארתור קיילי שני מאמרים קצרים על מושג החבורה^[1]. במאמר הראשון הוא מגדיר חבורה (סופית) על-פי האסוציאטיביות וההפיכות של כל האיברים, כלומר, כאובייקט מופשט. קיילי מציג את הדוגמאות שלו דרך לוח כפל, ומעיר שכל איבר הוא למעשה תמורה על אברי החבורה. בכך הוא רומז שכל חבורה (במובן המודרני, האקסיומטי, של המושג) היא למעשה חבורה של תמורות, אף על פי שאינו מוכיח את המשפט במפורש. אכן, ויליאם ברנסייד (בספרו מ-1911) מייחס את המשפט לקאמי ז'ורדן, שסיפק לו הוכחה מפורשת ב-1870.

העידון של משפט קיילי

לפי משפט קיילי, אפשר לשכן חבורה מסדר n כתת-חבורה של החבורה הסימטרית $S_{n}$ . ההוכחה מבוססת על פעולה נאמנה הנקראת "הפעולה הרגולרית של החבורה על עצמה" (ראו להלן).

למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם העידון של משפט קיילי: אם ל- $G$ יש תת-חבורה $H$ מאינדקס $n$ , אז יש העתקה $G\rightarrow S_{n}$ שהגרעין שלה מוכל ב- $H$ . נובע מזה שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס $n$ מוכרחה להיות תת חבורה נורמלית מאינדקס המחלק את $n!$ , כי אנחנו נקבל לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ש- $G/ker(\psi )\cong Im(\psi )\leq S_{n}$ . בפרט: אם נסתכל על החבורות הפשוטות ,שהן לא צקליות מסדר ראשוני, מכיוון ש- $ker(\psi )\triangleleft G$ אז הגרעין טריוויאלי, ולכן נקבל $G\cong Im(\psi )\leq S_{n}$ ,(כי אם $ker(\psi )\cong G$ אז $H$ נורמלית ולכן טריוויאלית, והטענה טריוויאלית ) אם $G$ מסדר שאינו מחלק את $n!$ , אז $G\cong Im(\psi )\leq S_{n}$ לא יכול להתקיים, ולכן אין תת-חבורות מאינדקס קטן מ- $n$ .

את העידון מוכיחים בעזרת הפעולה של $G$ על אוסף המחלקות $G/H$ (גם כאשר אוסף זה אינו חבורת מנה), על ידי כפל משמאל: $g:xH\mapsto gxH$ . הפעולה הזו אינה בהכרח נאמנה: אוסף האיברים הפועלים טריוויאלית שווה לחיתוך כל תת-החבורות הצמודות ל- $H$ , אוסף זה נקרא הליבה של $H$ .

דוגמה

נבחר את החבורה $G=\mathbb {Z} _{4}$ ונשכן אותה ב- $S_{4}$ ,כלומר נמצא תת חבורה של $S_{4}$ שאיזומורפית ל- $G$ .

נגדיר העתקה $\varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}$ .

$\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}$

$\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}$

$\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}$

$\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}$

התמורות שהגדרנו אינן מקריות, בנינו אותן כך שהתמורה $\varphi (i)$ מעבירה את המספר $j$ ל- $i+j$ (הסכום בחבורה $\mathbb {Z} _{4}$ , כלומר מודולו 4).

הוכחת המשפט

תהא $G$ חבורה סופית מסדר $n$ . יש לבנות הומומורפיזם מ- $G$ אל החבורה הסימטרית $S_{n}$ . לשם כך, מספיק להתאים לכל איבר של $G$ תמורה על האיברים של $G$ עצמה (אפשר לזהות את התמורות על $G$ עם התמורות על כל קבוצה אחרת באותו גודל, על ידי התאמה של האיברים זה לזה). במילים אחרות, יש לבנות פונקציה $\phi :G\rightarrow S_{G}$ , כאשר $\ S_{G}$ היא אוסף התמורות על $G$ . את התמורה $\phi (g):G\rightarrow G$ מגדירים לפי כפל משמאל: $(\phi (g))(x)=gx$ . זוהי תמורה, משום שאם $gx=gy$ , אז $x=y$ (שהרי $G$ חבורה, וכל איבריה הפיכים). בנוסף לזה, פעולת $\phi (gh)$ על איבר $x$ שווה ל- $(\phi (gh))(x)=(gh)x$ , וזה שווה ל- $\phi (g)(\phi (h)(x))=\phi (g)(hx)=g(hx)$ , בגלל האסוציאטיביות של $G$ . לבסוף, אם $\phi (g)=\phi (h)$ אז גם $g=\phi (g)(1)=\phi (h)(1)=h$ , ולכן $\phi$ חד-חד-ערכית.