מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה $H$ היא קבוצה של איברי חבורה $G$ אשר מתקבלת מהכפלת אברי $H$ באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה $H$ מהווה חלוקה של $G$ לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה $H$ בחבורה $G$ נקרא האינדקס של $H$ ב- $G$ , ומסומן $[G:H]$ . אם $G$ סופית, אינדקס זה שווה ל- $[G:H]={\frac {|G|}{|H|}}$ .

חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה $G=\{1,-1,i,-i\}$ ותת-החבורה שלה $H=\{1,-1\}$ . הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא $\{i,-i\}$ , והוא אינו סגור לכפל.

הגדרה פורמלית

תהא $G$ חבורה ותהא $H\subseteq G$ תת-חבורה שלה. יהא $g\in G$ איבר כלשהו, אז הקבוצה $gH=\left\{gh|h\in H\right\}$ תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של $H$ ב- $G$ , והקבוצה $Hg=\left\{hg|h\in H\right\}$ תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של $H$ ב- $G$ .

תכונות

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה $H$ , המחלקות (מאותו צד) של $H$ מהוות חלוקה של $G$ לקבוצות זרות.

הוכחה: אם

x\in g_{1}H\cap g_{2}H

אז לפי הגדרה קיימים

h_{1},h_{2}

כך ש-

x=g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2}

ולכן

g_{1}=g_{2}h_{2}h_{1}^{-1}

. מכיוון ש-

h_{2}h_{1}^{-1}\in H

, נובע ש-

g_{1}\in g_{2}H

, ולכן

g_{1}H=g_{2}H

. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של

H

מהוות חלוקה של

G

. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה $H$ שווה למספר האיברים ב- $H$ . במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות

אם לתת חבורה מסוימת $H$ מתקיים $\forall g\,,gH=Hg$ , כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה

ניקח את החבורה $(\mathbb {Z} ,+)$ , כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. $4\mathbb {Z}$ היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: $\{4\mathbb {Z} ,1+4\mathbb {Z} ,2+4\mathbb {Z} ,3+4\mathbb {Z} \}$ . נציגים לדוגמה מהמחלקה $1+4\mathbb {Z}$ הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה $3+4\mathbb {Z}$ הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.