משוואת המחלקות

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:

$ |G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)] $

כאשר $ Z(G) $ הוא המרכז של G, $ C(g) $ הוא המְרַכֵּז של $ g $ (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-$ Z(G) $.

$ [G:C(g)] $ הוא האינדקס של $ C(g) $ ב-$ G $ והוא שווה ל-$ [G:C(g)]=|G|/|C(g)| $.

רקע

שני איברים $ g,h\in G $ נקראים איברים צמודים אם קיים $ x\in G $ כך ש-$ g=xhx^{-1} $. צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את $ G $ למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל-$ g $ כ-$ A_{g} $.

המרכז של $ G $ מוגדר $ Z(G)=\{g\in G:\forall x\in G,xg=gx\} $ (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה).

המְרַכֵּז של איבר $ g\in G $ מוגדר $ C(g)=\{x\in G:xg=gx\} $ (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g). למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש-$ C(g) $ היא תת-חבורה של $ G $.

הוכחה

תהי $ G $ חבורה סופית ויהי $ g\in G $. נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:

$ xgx^{-1}=ygy^{-1}\iff (y^{-1}x)g=g(y^{-1}x)\iff y^{-1}x\in C(g)\iff x\in yC(g)\iff xC(g)=yC(g) $

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.

מכאן ש-$ xgx^{-1} $ ו-$ ygy^{-1} $ שונים אם ורק אם $ x $ ו-$ y $ שייכים לקוסטים שמאליים שונים של $ C(g) $. לכן מתקיים:

$ |A_{g}|=[G:C(g)] $

מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:

$ |G|=\sum _{g}|A_{g}| $

כש-$ g $ עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות.

נגדיר את $ I $ כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי $ Z(G) $. לכל $ g\in Z(G) $ ולכל $ x\in G $ מתקיים $ g=xx^{-1}g=xgx^{-1} $ ולכן $ |A_{g}|=1 $ (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים:

$ |G|=\sum _{g\in Z(G)}{1}+\sum _{g\in I}{|A_{i}|}=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)] $

מסקנות

ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.

הוכחה: תהי $ G $ חבורה מסדר $ p^{n} $. אם $ G $ אבלית $ Z(G)=G $ אינו טריוויאלי. נניח ש-$ G $ אינה אבלית. יהי $ g\in I $, לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים $ |C(g)|=p^{k} $. בהכרח $ k<n $, אחרת $ C(g)=G $ בסתירה לכך ש-$ g\not \in Z(G) $. לכן: $ p|p^{n-k}=[G:C(g)] $. לפי משוואת המחלקות:

$ |Z(G)|=|G|-\sum _{g\in I}[G:C(g)] $

אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p. $ |Z(G)| $ הוא מספר חיובי (כי $ e\in Z(G) $) שמתחלק ב-p ולכן $ p\leq |Z(G)| $. ∎

שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי.

המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משוואת המחלקות33130905Q18388073