מנרמל

בתורת החבורות, מנרמל (או נורמליזטור) של תת-חבורה $H$ בחבורה $G$ הוא תת-החבורה הגדולה ביותר של $G$ שבה $H$ נורמלית.

הגדרה

המנרמל של תת-חבורה $H\leq G$ הוא אוסף כל האיברים של $G$ המקיימים את התנאי $xHx^{-1}=H$ . במילים אחרות, אלו האיברים $x\in G$ שעבורם, הצמוד $xhx^{-1}$ שייך ל- $H$ לכל $h\in H$ , ורק עבור $h$ כזה. את המנרמל מקובל לסמן ב- $\operatorname {N} _{G}(H)$ , כך ש- $\operatorname {N} _{G}(H)=\{x\in G:xHx^{-1}=H\}$ .

כאשר מדובר בחבורות סופיות (ואפילו אם $H$ בלבד סופית), הקבוצה $\{x\in G:xHx^{-1}\subseteq H\}$ שווה למנרמל. עם זאת, באופן כללי התנאי $xHx^{-1}\subseteq H$ חלש מתנאי השוויון, והוא מגדיר קבוצה המכילה את המנרמל, ועשויה להיות שונה ממנו. קבוצה זו סגורה לכפל, אבל אינה בהכרח סגורה לפעולת ההיפוך. לדוגמה, בחבורת Baumslag-Solitar $\langle a,b\,|\,aba^{-1}=b^{2}\rangle$ , האיבר $a$ אינו שייך למנרמל של תת-החבורה הציקלית $\langle b\rangle$ , אף על פי ש- $a\langle b\rangle a^{-1}\subset \,\langle b\rangle$ .

תכונות עיקריות

מן ההגדרה ברור ש- $H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)$ , וש- $H$ היא תת-חבורה נורמלית שם. המנרמל הוא תת-החבורה הגדולה ביותר שבה $H$ נורמלית - כל תת-חבורה של $G$ המכילה את $H$ ושבה $H$ נורמלית, מוכלת במנרמל של $H$ . המנרמל שווה ל- $G$ אם ורק אם $H$ עצמה תת-חבורה נורמלית.

האינדקס של $\operatorname {N} _{G}(H)$ שווה למספר תת-החבורות הצמודות ל- $H$ . אפשר לראות בגודל המנרמל מדד ל"מידת הנורמליות" של תת-החבורה: המנרמל של $H$ שווה ל- $H$ כאשר היא רחוקה ביותר מלהיות נורמלית.

באופן כללי מתקיים $H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)\subseteq \operatorname {N} _{G}(\operatorname {N} _{G}(H))\subseteq \cdots$ . אם $G$ היא חבורת-p אז $H\subset \operatorname {N} _{G}(H)$ לכל $H\subset G$ . לעומת זאת, אם $P$ היא תת-חבורת סילו, אז $\operatorname {N} _{G}(H)=H$ לכל $H\supseteq \operatorname {N} _{G}(P)$ (זו תוצאה של משפט סילו השני).