קבוצה מקטגוריה ראשונה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, קבוצה מקטגוריה ראשונה (נקראת גם קבוצה דלה, באנגלית: meagre set) היא קבוצה אשר נוצרת מאיחוד בן-מניה של קבוצות דלילות.[1] קבוצה אשר איננה קבוצה מקטגוריה ראשונה נקראת קבוצה מקטגוריה שניה.

לקבוצות מקטגוריה ראשונה חשיבות רבה בניסוח משפט הקטגוריה של בייר, משפט מרכזי בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.

הגדרות מתמטיות

בהינתן מרחב טופלוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} עם טופולוגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{T}} וקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N\subseteq X} , הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם היא מקיימת את אחד מהתנאים השקולים הבאים:

  1. הפנים של הסגור שלה ריק, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Int}(\operatorname{Cl}(N))=\emptyset }
  2. לכל קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset \ne U\in \mathcal{T}} קיימת קבוצה פתוחה כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\subseteq U} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\cap N=\emptyset}

קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq X} תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא ניתנת לכתיבה כ-הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{\infty }{N_{i}}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_i} כולן קבוצות דלילות. מאידך, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} תקרא קבוצה מקטגוריה שניה אם ורק אם היא אינה מקטגוריה ראשונה.

הערות בנוגע לניסוח:

  1. באנגלית נקראת קבוצה מקטגוריה ראשונה גם כ-Meager Set שפרושו המילולי הוא קבוצה דלה או קבוצה דלילה, אולם בעברית המונח קבוצה דלילה נוגע לקבוצות שהן Nowhere Dense.
  2. אין קשר בין קבוצות מקטגוריה ראשונה (או שנייה) לתורת הקטגוריות.

מרחבי בייר ומשפט הקטגוריה של בייר

מרחב בייר הוא מרחב טופולוגי שעבורו המשלים לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה.[2] משפט הקטגוריה של בייר מוכיח כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בייר.[3] ממשפט זה נובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} הוא מרחב בייר.

הגדרה אלטרנטיבית באמצעות משחק בנך-מזור

ניתן להגדיר את המונח קבוצה מקטגוריה ראשונה באמצעות המשחק הטופולוגי משחק בנך-מזור. עבור מרחב טופולוגי וקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq X} , משחק בנך-מזור משוחק על-ידי שני שחקנים אליס ובוב. בתחילת המשחק אליס בוחרת קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_1\subseteq X} ובוב בוחר בעקבותיה קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_2\subseteq U_1} . לאחר מכן אליס בוחרת קבוצה פתוחה נוספת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_3\subseteq U_2} ובוב ממשיך בבחירת קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_4\subseteq U_3} . המשחק נמשך עד לאינסוף. אליס מנצחת את המשחק אם . אחרת, בוב מנצח.[4]

ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} היא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי קבוצה מקטגוריה ראשונה להיות קבוצה שעבורה יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק בנך-מזור.

דוגמאות

  • כל קבוצה דלילה היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
  • קבוצת המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}} היא קבוצה מקטגוריה ראשונה תחת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} עם הטופולוגיה הסטנדרטית, אך היא אינה קבוצה דלילה (למעשה, היא קבוצה צפופה)
  • הקבוצה הריקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset} היא מהקטגוריה הראשונה בכל מרחב טופולוגי.
  • אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq X} היא קבוצה מקטגוריה ראשונה, אז כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\subseteq A} גם היא מקטגוריה ראשונה.
  • אם הן קבוצת נקודות מקטגוריה ראשונה אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty{A_n}} מקטגוריה ראשונה.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ↑ Eric W. Weisstein, First Category, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
  2. ↑ R. C. Haworth, R. A. McCoy, Baire spaces, 1977
  3. ↑ Eric W. Weisstein, Baire Category Theorem, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
  4. ↑ Banach-Mazur game - Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוצה מקטגוריה ראשונה37098750Q1747745

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=קבוצה_מקטגוריה_ראשונה&oldid=2521353"