פונקציית דיריכלה

פונקציית דיריכלה היא פונקציה ממשית המקבלת את הערך 1 עבור כל מספר רציונלי ואת הערך 0 עבור כל מספר אי-רציונלי. כלומר זוהי הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים הרציונלים על הישר:

D(x)=1_{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&:x\in \mathbb {Q} \\0&:x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}

מקורות מסוימים מגדירים את פונקציית דיריכלה דווקא כפונקציה המציינת של המספרים האי-רציונליים. הפונקציה נחקרה לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה.

תכונות

פונקציית דיריכלה מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:

היא אינה רציפה באף נקודה על הישר – לכל רציונלי ניתן לבנות סדרת מספרים אי-רציונליים השואפת אליו, ולהפך, על כן כל נקודה של הפונקציה היא נקודת אי-רציפות מן הסוג השני, ומכאן ברור שאין קטע שהיא רציפה בו או גזירה בו. למשל, נניח כי $x_{1}={\frac {p_{1}}{q_{1}}}<x_{2}={\frac {p_{2}}{q_{2}}}$ , אזי ניתן להגדיר מספר אי-רציונלי ביניהם כך: $x_{3}={\frac {\sqrt {(p_{1}q_{2})^{2}+1}}{q_{1}q_{2}}}$ .
אין קטע שהיא מונוטונית בו.
אין קטע שהיא אינטגרבילית רימן בו. אולם היא כן אינטגרבילית לבג, ואינטגרל לבג שלה בכל קטע הוא 0. זאת משום שקבוצת הרציונליים היא קבוצה ממידה אפס ולכן הפונקציה מתאפסת כמעט בכל מקום.

בשל תכונות אלו משמשת פונקציית דיריכלה לעיתים קרובות בתור דוגמה נגדית, כדי להראות שתכונה כלשהי, המתקיימת בפונקציות ממשיות רבות, אינה מתקיימת בכולן.

הווריאציה $xD(x)$ של פונקציית דיריכלה מספקת דוגמה לפונקציה רציפה בנקודה 0 בלבד, והווריאציה $x^{2}D(x)$ מספקת דוגמה לפונקציה גזירה בנקודה 0 בלבד.

אחת המסקנות ממשפט הקטגוריה של בייר היא שכל סדרת פונקציות רציפות המתכנסת נקודתית, מתכנסת לפונקציה שקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא מקטגוריה ראשונה. לכן פונקציית דיריכלה, שאינה רציפה באף נקודה, אינה גבול של אף סדרת פונקציות רציפות בשום קטע. עם זאת, פונקציית דיריכלה היא גבול כפול של סדרת פונקציות רציפות:

\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }{\begin{cases}1&:m!x\in \mathbb {Z} \\0&:m!x\notin \mathbb {Z} \end{cases}}=D(x)

לכן פונקציית דירכלה היא פונקציית בייר מסדר שני.

אי-רציפות לעומת אי-קיום הגבולות

פונקציית דיריכלה אינה רציפה משום שאין לה גבול באף נקודה. לפונקציה $xD(x)+\delta _{x,0}$ יש גבול בנקודה 0, למרות שאינה רציפה באף נקודה. אם יש לפונקציה גבול בכל נקודה, אז קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה לכל היותר בת מנייה [1].