נוצר סופית

באלגברה מופשטת, מבנה אלגברי נוצר סופית אם אפשר לקבל כל איבר שלו מתוך קבוצה סופית של איברים. אופי הפעולות שאותן אפשר להפעיל על קבוצת היוצרים אינו קבוע, ואמור להיות מובן מתוך ההקשר. לכן יש להבדיל בין התכונות נוצר סופית כמודול, נוצר סופית כאידיאל, נוצר סופית כחוג, נוצר סופית כשדה, וכן הלאה. בכל המקרים האלה, המבנה נוצר סופית אם יש בו קבוצת איברים סופית שהוא תת-המבנה הקטן ביותר המכיל את כולם.

מרחב וקטורי נוצר סופית אינו אלא מרחב וקטורי בעל ממד סופי. באופן כללי יותר, אומרים שמודול $M$ נוצר סופית מעל חוג $R$, אם יש קבוצת איברים $x_{1},\dots ,x_{n}\in M$ כך שכל איבר ב-$M$ הוא צירוף מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n} עבור מקדמים מתאימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1,\dots,a_n \in R} . מודול כזה נקרא גם מודול סופי. נוסח זה מתאים גם עבור אידיאל שמאלי.

חוג נוצר סופית נקרא גם חוג אפיני. בהחלט ייתכן שחוג שאינו נוצר סופית ככזה, יהיה נוצר סופית כשדה; או שמודול שאינו נוצר סופית ככזה, יהיה נוצר סופית כחוג. לדוגמה, שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)} (מעל שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} ) נוצר על ידי איבר אחד כשדה, אבל אינו נוצר סופית כחוג. (אחד המשפטים היסודיים באלגברה קומוטטיבית קובע שחוג אפיני אינו יכול להיות שדה אלא במקרה הטריוויאלי). באותו אופן, חוג הפולינומים במשתנה אחד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F[x]} נוצר כמובן סופית כחוג, אבל הוא בעל מימד אינסופי מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} , ואינו סופי כמודול.

כאשר יש לאובייקט האלגברי מבנה נוסף, כגון טופולוגיה, אפשר לכלול את המבנה הזה בהגדרה. לדוגמה, אומרים שחבורה טופולוגית היא נוצרת סופית (כחבורה טופולוגית) אם יש בה קבוצה סופית שאינה מוכלת באף תת-חבורה סגורה; כאן הפעולות המותרות הן פעולות החבורה, ובנוסף להן פעולת הגבול הטופולוגי. לדוגמה, חוג השלמים ה-p-אדיים נוצר סופית כחבורה טופולוגית: אפשר ליצור אותו מאיבר אחד, ולכן החבורה הזו נקראת גם "חבורת-p הטופולוגית הציקלית".

המבנה של אובייקטים נוצרים סופית עשוי להיות מסובך ביותר, ובדרך כלל תכונה זו אינה נשמרת במעבר לתת-אובייקטים. למשל, יש דוגמה לחבורה פתירה מוצגת סופית שהמרכז שלה אינו נוצר סופית. לעומת זאת, תנאי השרשרת העולה נשמר במעבר לתת-אובייקטים, והוא מהווה תחליף מבני ראוי לנוצרות סופית. לפעמים לא ברור האם אובייקט טבעי הוא בעל קבוצת יוצרים סופית או לא. למשל, חבורת המטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})} נוצרת סופית, אבל $\operatorname {GL} _{2}(F[t])$ אינה נוצרת סופית אפילו אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} שדה סופי; תוצאות בתורת K האלגברית מראות ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d])} נוצרת סופית אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} גדול מספיק, אבל לא תמיד ידוע הערך הראשון שבו התופעה מתרחשת.

לעיתים קרובות אפשר לשכן כל מבנה נוצר-מנייתית במבנה נוצר סופית. היגמן-ניומן-ניומן (1949) הראו שאפשר לשכן כל חבורה נוצרת מנייתית בחבורה נוצרת סופית. מלצב (1952) הראה שאפשר לשכן כל אלגברה אסוציאטיבית מממד בן-מניה באלגברה אסוציאטיבית נוצרת סופית. שירשוב (1958) הראה שאפשר לשכן כל אלגברת לי מממד בן מניה באלגברת לי נוצרת סופית.

יש מושגים חזקים יותר מאשר נוצרות סופית. חבורה היא בעלת יצירה חסומה (bounded generation) אם קיימים בה איברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_1,\dots,g_d} כך שכל איבר בחבורה הוא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_1^{i_1} \cdots g_d^{i_d}} . חבורה בעלת יצירה חסומה היא נוצרת סופית. כל חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, ואפילו כל חבורה פולי-ציקלית נוצרת סופית, היא בעלת יצירה חסומה (אבל חבורה פתירה נוצרת סופית אינה בהכרח כזו). החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})} (וכמוה SL_n מעל חוג שלמים של כל שדה מספרים) היא בעלת יצירה חסומה כאשר n>=3 (אבל לא עבור n=2), Carter-Keller.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34106378נוצר סופית