פעולה (מתמטיקה)

במתמטיקה, פעולה היא פונקציה שנותנת ערך פלט מוגדר היטב בעבור אפס או יותר ערכי קלט הנקראים ארגומנטים.^[1] פעולה חלקית מוגדרת באופן דומה לפעולה, אך במקום להגדיר אותה באמצעות פונקציה, מגדירים אותה תוך שימוש בפונקציה חלקית.

סוגי פעולות

הפעולות הנפוצות ביותר הן פעולות בינאריות ופעולות אונאריות. פעולות בינאריות הן פעולות שמקבלות שני אופרנדים ופעולות אונאריות מקבלות אופרנד אחד. דוגמאות לפעולות בינאריות הן חיבור וכפל, ובין הפעולות האונאריות ניתן למנות את פעולת השלילה ופונקציות טריגונומטריות. פעולה שמקבלת אפס אופרנדים, היא פעולה קבועה.^[2]^[3] מכפלה מעורבת היא דוגמה לפונקציה שמקבלת שלושה אופרנדים, והיא מכונה "פעולה טרנרית". במתמטיקה קלאסית מספר האופרנדים שפונקציה מקבלת הוא סופי.

פעולות יכולות לכלול גם עצמים מתמטיים שאינם מספרים. לדוגמה, ניתן להפעיל פעולות בוליאניות כדוגמת "או" ו"וגם" על הערכים הלוגיים "אמת" ו"שקר". פעולות על וקטורים במרחב וקטורי נקראות אופרטורים. פעולות על קבוצות כוללות איחוד וחיתוך ואת הפעולה האונארית של מציאת משלים. על פונקציות ניתן להפעיל שלל פעולות כדוגמת הרכבה וקונבולוציה.

יש פעולות שלא מוגדרות לכל ערך אפשרי בתחום שלהן, למשל פעולת החלוקה שלא מוגדרת כאשר האופרנד השני שלה הוא אפס - לא ניתן לחלק באפס. פעולה נוספת שאינה מוגדרת לחלק מהאיברים בתחום היא הוצאת שורש ריבועי של מספר שלילי. הערכים שעבורם הפעולה מוגדרת יוצרים קבוצה הנקראת "תחום ההגדרה". קבוצת הפלטים של פעולה תיקרא "תמונה" או "טווח". לדוגמה, במספרים הממשיים, פעולת הריבוע מייצרת רק מספרים שאינם שליליים. במקרה כזה, תחום ההגדרה שלה הוא קבוצת המספרים הממשיים, אך הטווח הוא קבוצת המספרים החיוביים.

הגדרה פורמלית

פעולה n-רית היא פעולה המקבלת $Y$ קלטים - $X_{1},...,X_{n}$ ומחזירה תוצאה $Y$ . הפעולה היא פונקציה $\omega :X_{1}\times ...\times X_{n}\rightarrow Y$ . הקבוצה $\omega :X_{1}\times ...\times X_{n}$ נקראת "תחום הפעולה", והקבוצה $Y$ נקראת "טווח הפעולה". לפיכך, פעולה אונרית היא פעולה המקבלת קלט אחד, ופעולה בינארית מקבלת שני קלטים. פעולה שמקבלת אפס קלטים, המכונה פעולה נאלרית, היא פשוט קבוע השייך ל- $Y$ . ניתן להתייחס לפעולה המקבלת $Y$ קלטים כיחס סופי $n+1$ ממדי שמוגדר לכל קבוצת קלטים, ולכל קבוצה כזו מחזיר פלט יחיד.

האמור לעיל מתאר את מה שמכונה בדרך כלל פעולה סופית, כשהוא מתייחס למספר הסופי של הקלטים. קיימות הרחבות שבהן מספר הקלטים הוא אינסופי - אורדינלי או קרדינלי,^[2] או שהוא מיוצג בתור מערך שרירותי שמסמן את האינדקסים של הקלטים.

לעיתים קרובות הטווח של פונקציה כולל איברים מהסוג של הקלטים, אם כי יש יוצאים מן הכלל כמו מכפלה סקלרית, שמקבלת וקטורים ומחזירה סקלר. פעולה $\omega :X^{n}\rightarrow X$ , המקבלת $n$ משתנים מקבוצה מסוימת, ומחזירה פלט מאותה הקבוצה, נקראת פעולה פנימית. בעבור פעולות בינאריות, נגדיר פעולה חיצונית שמאלית כ- $\omega :S\times X\rightarrow X$ מעל קבוצת סקלרים $S$ , ו- $\omega :X\times S\rightarrow X$ תקרא פעולה חיצונית ימנית מעל $S$ . דוגמה לפעולה פנימית היא חיבור וקטורים - פעולה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה וקטור חדש שהוא החיבור של שניהם. דוגמה לפעולה חיצונית היא כפל בסקלר, המקבלת וקטור וסקלר, ומחזירה וקטור. ניתן להרחיב את ההגדרה ולהגדיר פעולה חיצונית גם במקרה הכללי של יותר משני קלטים, ולהגדירה כפעולה $\omega :X^{i}\times S\times X^{n-i-1}\rightarrow X$ המקבלת $n$ קלטים שאחד מהם שייך לקבוצת סקלרים $S$ , ומחזירה איבר ב- $X$ .