היפר-פעולות

במתמטיקה, רצף היפר-פעולות הוא סדרה אינסופית של פעולות, אשר מתחילה בפעולה האונארית של פונקציית המספר העוקב (n=0), ממשיכה עם הפעולות הבינאריות של חיבור (n=1), כפל (n=2) וחזקה (n=3) וממשיכה עם פעולות בינאריות נוספות שהן אסוציאטיביות מימין. המתמטיקאי ראובן גודשטיין נתן שמות לפעולות שמעבר לחזקה: האיבר ה-n-י של הסדרה נקרא לפי התחיליות היווניות של n, בתוספת הסופית "ציה" (לדוגמה, טטרציה (n=4), פנטציה (n=5), הקסציה (n=6), וכן הלאה). פעולות אלו יכולות להירשם באמצעות n-2 חצים בשיטת החץ של קנות' (כאשר n≥3). ניתן לפרש כל היפר-פעולה באופן רקורסיבי לפי הפעולה הקודמת לו, באמצעות הנוסחה:

${\begin{matrix}a\uparrow ^{m}b&=&\underbrace {a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}(...(a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}a))...)))} \\&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}$       ($m\geq 0$)

היא גם יכולה להיות מוגדרת לפי כלל הנסיגה שבהגדרתה, כמו בגרסת החץ של קנות' של פונקציית אקרמן:

$a\uparrow ^{m}b=a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m}(b-1))$       ($m\geq -1$)

אפשר להשתמש בכך כדי להציג מספרים גדולים בהרבה מאלה שניתן בכתיב מדעי, כמו מספרי סקיוז וגוגולפלקס, אבל יש מספרים אשר אפילו אותם לא ניתן להציג בנקל, כמו מספר גרהאם ו-TREE(3). כלל נסיגה זה משותף לווריאנטים רבים של היפר-פעולות (ראו מטה).

 הגדרה

רצף ההיפר-פעולות הוא סדרת הפעולות הבינאריות: $H_{n}(a,b)(\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$, המוגדר באופן רקורסיבי כך:

$H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1,b=0\\0&{\text{if }}n=2,b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3,b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

• עבור $n=0$, הגדרה זו מחקה את פעולתה של פונקציית המספר העוקב, והפעולה הבינארית הופכת בפועל לפעולה אונארית – תוך השמטת (ללא תלות ב-) הארגומנט הראשון.

• עבור $n=1,2,3$, הגדרה זו מחקה את ארבע הפעולות האריתמטיות הראשונות ברצף.

מכאן, נקבל:

$H_{0}(a,b)=b+1$ – פונקציית המספר העוקב

$H_{1}(a,b)=a+b$ – חיבור

$H_{2}(a,b)=a\cdot b$ – כפל$H_{3}(a,b)=a^{b}$ – חזקה

עבור $n\geq 4$, הגדרה זו מרחיבה את הפעולות הבסיסיות הללו מעבר לחזקה, אל מה שניתן לרשום בעזרת החץ של קנות':

$H_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow {b}$

$H_{5}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}$

$\vdots$

$H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 3$

$\vdots$

ניתן להרחיב את שיטת הרישום של קנות' לפרמטרים (שלמים) גדולים מ- $-2$, כך שתהיה התאמה מלאה עם כל רצף ההיפר-פעולות (למעט הפער המספרי באינדקסים):

$H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0$

לפיכך, אפשר לראות את רצף ההיפר-פעולות כתשובה לשאלה "מה הלאה?" בסדרה: פונקציית המספר העוקב, חיבור, כפל, חזקה, ...

מהתבוננות בזהויות:

• $a+b=(a+(b-1))+1$
• $a\cdot b=a+(a\cdot (b-1))$
• $a^{b}=a\cdot (a^{(b-1)})$
• $a\uparrow \uparrow b=a^{a\uparrow \uparrow {(b-1)}}$

המדגימות את היחסים בין הפעולות האריתמטיות הבסיסיות, ניתן ללמוד איך להגדיר את הפעולות הבאות ברצף באופן טבעי, דלעיל. לעיתים, מתייחסים לפרמטרים של היררכיית ההיפר-פעולות במונחים האנלוגיים מעולם החזקות, כך ש-$a$ הוא ה"בסיס", $b$ הוא ה"מעריך", ו-$n$ היא ה"מעלה" (או ה"דרגה").

דוגמאות

במונחים פשוטים, ההיפר-פעולות הן דרך לבנות מספרים, שקצב גידולם הולך וגובר, בהתבסס על האיטרציות של ההיפר-פעולה הקודמת. הרעיונות העומדים מאחורי ההיפר-פעולות ומאחורי פונקציית המספר העוקב, החיבור, הכפל והחזקה, זהים בבסיסם:

• אופרטור המספר העוקב (הפרימיטיבי והבסיסי ביותר) – מניב מהמספר $x$ את המספר $x+1$
• אופרטור החיבור – מציין כמה פעמים יש להוסיף את המספר $1$ לעצמו, כדי לקבל את הערך הסופי
• אופרטור הכפל – מציין כמה פעמים יש להוסיף את מספר כלשהו לעצמו, כדי לקבל את הערך הסופי
• אופרטור החזקה – מציין כמה פעמים יש לכפול מספר כלשהו בעצמו, כדי לקבל את הערך הסופי

הטבלה הבאה מציגה את שבעת ההיפר-פעולות הראשונות (0 עד 6):
(שימו לב, שבערך זה אנו מגדירים: $0^{0}=1$)

$n$	פעולה $H_{n}(a,b)$	הגדרה	שמות	תחום הגדרה
0	$1+b$	${1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} \atop {b{\mbox{ copies of 1}}}}}$	היפר-0, קידום, פונקציית המספר העוקב, אפסציה	לכל $a$ ו- $b$
1	$a+b$	${a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} \atop {b{\mbox{ copies of 1}}}}}$	היפר-1, חיבור	לכל $a$ ו- $b$
2	$a\cdot b$	${{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	היפר-2, כפל	לכל $a$ ו- $b$
3	$a^{b}$ או$a\uparrow b$	${{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	היפר-3, חזקה	$a>0$ וגם $b$ ממשי או $a\geq 0$ וגם $b$ אי-שלילי או $a\neq 0$, $b$ שלם, עם כמה הרחבות רב-ערכיות למספרים מרוכבים
4	$^{b}a$ או$a\uparrow \uparrow b$	${{\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow \cdots \uparrow a))...)} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	היפר-4, טטרציה	$a\geq 0$ או $a$ שלם, $b\geq -1$ שלם (עם כמה הרחבות שהוצעו)
5	$a\uparrow \uparrow \uparrow b$ או $a\uparrow ^{3}b$	${{\underbrace {a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a))...)} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	היפר-5, פנטרציה	$a\geq -1$ שלם וגם $b\geq -1$ שלם
6	$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$ או $a\uparrow ^{4}b$	${{\underbrace {a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}\cdots \uparrow ^{3}a))...)} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	היפר-6, הקסציה	$a\geq -1$ שלם וגם $b\geq -1$ שלם

מקרים מיוחדים

H_n(0, b) =

0, כאשר n = 2, או n = 3 וגם b ≥ 1, או n ≥ 4 וגם b ≥ -1 אי-זוגי

1, כאשר n = 3 וגם b = 0, או n ≥ 4 וגם b ≥ 0 זוגי

b, כאשר n = 1

b + 1, כאשר n = 0

H_n(a, 0) =

0, כאשר n = 2

1, כאשר n = 0, או n ≥ 3

a, כאשר n = 1

H_n(a, −1) =

0, כאשר n = 0, או n ≥ 4

a − 1, כאשר n = 1

‎−a, כאשר n = 2

${\frac {1}{a}}$, כאשר n = 3

היסטוריה

אחד הדיונים הקדומים ביותר אודות היפר-פעולות היה ב-1914 בידי אלברט בנט, שפיתח חלק מתורת ההיפר-פעולות הקומוטטיבית. כ-12 שנים לאחר מכן, וילהלם אקרמן הגדיר את "פונקציית אקרמן": $\phi (a,b,n)$, שבמידת מה, מזכירה את רצף ההיפר-פעולות.

בעבודתו מ-1947, ראובן גודשטיין הציג את הרצף הספציפי של פעולות, אשר קרויות כיום "היפר-פעולות", והציע את השמות היווניים "טטרציה", "פנטציה" וכו', לפעולות שמעבר לפעולת החזקה (מכיוון שהן תואמות את מיקומן ברצף: 4 (טטרה), 5 (פנטה)). נראה כי, בתור פונקציה ב-3 משתנים (ניתן להגדיר פונקציה $G$: $G(n,a,b)=H_{n}(a,b)$), רצף ההיפר-פעולות בכללותו הוא גרסה של פונקציית אקרמן המקורית $\phi (a,b,n)$ – פונקציה רקורסיבית, אבל לא רקורסיבית פרימיטיבית – כמו זו ששונתה על ידי גודשטיין, כדי לשלב את פונקציית המספר העוקב הפרימיטיבית יחד עם שאר שלוש הפעולות הבסיסיות של האריתמטיקה (חיבור, כפל, חזקה), ולאפשר הרחבה חלקה, טבעית ופשוטה יותר ("seamless") שלהן מעבר לחזקה.

פונקציית אקרמן המקורית ב-3 משתנים $\phi$ עושה שימוש באותו כלל נסיגה המשמש בגרסתו של גודשטיין (ההיפר-פעולות), אך שונה ממנה בשני אופנים. ראשית, היא מגדירה רצף פעולות שמתחיל בפעולת החיבור (n=0) במקום להתחיל בפונקציית המספר העוקב, אחר כך כפל (n=1), חזקה (n=2), וכן הלאה. שנית, התנאים התחיליים של $\phi$ גוררים את השוויון$\phi (a,b,3)=a\uparrow \uparrow (b+1)$, ובכך נבדלות פונקציית אקרמן המקורית וגרסתו של גודשטיין בהיפר-פעולות שמעבר לחזקה. המשמעות של הביטוי "$b+1$" בשוויון האחרון היא, שמתקיים $\phi (a,b,3)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}$, כאשר $b$ מונה את מספר האופרטורים (העלאה בחזקה), במקום לספור את מספר האופרנדים ("$a$"-ים), כפי ש-$b$ עושה בביטוי $a\uparrow \uparrow b$, וכך גם עבור הפעולות מדרגות גבוהות יותר.

ראו גם

• מספרים גדולים