סימון דיראק

סימון דיראק (או כתיב דיראק או סימון בְּרָה-קֵט) הוא הסימון הסטנדרטי לתיאור מצבים קוונטים במכניקת הקוונטים, אף על פי שאפשר להשתמש בסימון זה לציון וקטורים במרחב וקטורי מופשט ואף פונקציונלים. שמו של הסימון הוא מעין "התחכמות לשונית" של ממציאו פול דיראק: מכפלה פנימית של שני מצבים, הנקראת באנגלית "בְּרָקֵט" (bracket) ומסומנת על ידי $\langle \phi |\psi \rangle$ מכילה למעשה חלק שמאלי $\langle \phi |$, אשר נקרא "בְּרָה" (bra) וחלק ימני $|\psi \rangle$ הנקרא "קֵט" (ket).

מבוא אינטואיטיבי

סימון דיראק בא לתאר את הפורמליזם המתמטי של מכניקת הקוונטים בה המערכת נמצאת במצב קוונטי שהוא סופרפוזיציה של מצבים עצמיים. לכל גודל מדיד (המיוצג על ידי אופרטור הרמיטי) מתאים סט של מצבים עצמיים המייצגים את הערכים שאפשר למדוד.

סימון דיראק מסייע לחשב מה ההסתברות למדוד ערך a של אופרטור A כאשר המערכת נמצאת במצב קוונטי $\ |\psi \rangle$. בסימון דיראק מדידה (או הטלה) מיוצגת על ידי מכפלה פנימית $\ \langle a|\psi \rangle$ כאשר ריבוע הערך המוחלט שלה נותן את ההסתברות. הערך a הוא בעצם מצב עצמי קוונטי של האופרטור A המקיים $\ A|a\rangle =a|a\rangle$ (כאשר ה a מחוץ ל"קט" הוא כבר מספר סקלרי) ולמעשה מה שסימון דיראק אומר הוא שאת הסיכוי למדידת הערך a במצב $\ |\psi \rangle$ אפשר לחשב על ידי הטלת המצב $\ |\psi \rangle$ על המצב העצמי $\ |a\rangle$. נסכם, $\ {\mbox{Prob}}\left(A=a\right)=\left|\langle a|\psi \rangle \right|^{2}$

כאשר מטילים על בסיס המקום (או בסיס המרחב), המורכב ממצבים עצמיים $\ |{\vec {r}}\rangle$ המייצגים כל אחד מהם חלקיק שפונקציית הגל שלו מרוכזת במקום מסוים ${\vec {r}}$, נהוג לסמן $\langle {\vec {r}}|\psi \rangle =\psi ({\vec {r}})$ ולקרוא לביטוי $\ \psi ({\vec {r}})$ פונקציית הגל של החלקיק. עוד על הצגת ברה-קט בבסיס המרחב ראו בהמשך המאמר.

ברה וקט

במכניקת הקוונטים, המצב של מערכת פיזיקלית מזוהה על ידי וקטור במרחב הילברט מרוכב $H$. כל וקטור במרחב זה נקרא "קט" ונכתב בצורה: $|\psi \rangle$. כאשר: $\psi$ מייצג קט מסוים.

לכל קט $|\psi \rangle$ קיים ברה דואלי אשר מצוין על ידי $\langle \psi |$ שהוא למעשה פונקציונאל ליניארי מ-$H$ ל-$\mathbb {C}$ בהתאם להגדרה הקאנונית: :$\langle \psi |\rho \rangle =(|\psi \rangle ,|\rho \rangle )$ לכל ה"קטים" $|\rho \rangle$ כאשר $\langle \ |\ \rangle$ מייצג את המכפלה הפנימית המוגדרת על מרחב הילברט. סימון זה מקבל את הצדקתו בזכות משפט ההצגה של ריס, הקובע כי מרחב הילברט והמרחב הדואלי שלו איזומורפיים ואיזומטריים. לפיכך, לכל ברה מתאים קט אחד בלבד ולהפך.

למעשה, סימון דיראק יכול לשמש, באופן זהה, מרחבים וקטוריים, גם אם אלו אינם מרחבי הילברט. בכל מרחב בנך אפשר לציין את הווקטורים באמצעות ברה ואת הפונקציונלים הליניארים באמצעות קט. למעשה, מעל כל מרחב וקטורי, אשר לא מוגדרת עליו טופולוגיה, אפשר לסמן את הווקטורים והפונקציונלים הליניאריים באמצעות ברה וקט. במקרים יותר כלליים אלו של מרחבים בלי מכפלה פנימית, ל"ברקט" אין את המשמעות של מכפלה פנימית.

הצמדתו של ה"ברה" $\langle \phi |$ ל"קט" $|\psi \rangle$ מניבה מספר מרוכב, המסומן על ידי $\langle \phi |\psi \rangle$.

במכניקת הקוונטים זוכה סימון זה לפירוש כאמפליטודת ההסתברות שהמצב $\psi$ יקרוס אל המצב $\phi$.

תכונות

מאחר שמדובר במרחב הילברט שהוא בפרט מרחב וקטורי, המכפלה הפנימית וההצמדה ההרמיטית מקיימות את התכונות הבאות:

• בי-ליניאריות בשני משתנים:

$\langle \phi |\;(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle$

$(c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|)\;|\psi \rangle =c_{1}^{*}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}^{*}\langle \phi _{2}|\psi \rangle$

• הצמוד הדואלי של $c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{1}\rangle$ הנו $c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{1}|$
• כמו בכל מרחב מכפלה פנימית אחר מתקיים: $\langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}$

אופרטורים ליניאריים

אם ${\hat {A}}:H\rightarrow H$ הוא אופרטור ליניארי, אפשר להפעיל את האופרטור ${\hat {A}}$ על וקטור קט ${\hat {A}}|\psi \rangle$. לאופרטורים ליניארים חשיבות גדולה במכניקת הקוונטים, בין השאר מכיוון שכל גודל פיזיקלי מדיד (כדוגמת אנרגיה או תנע זוויתי) מיוצג על ידי אופרטור ליניארי הרמיטי (כלומר: ${\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }$), כאשר הסימן $\dagger$ נקרא "דאגר" (בעברית: צלבון), ומייצג צמוד הרמיטי של אופרטור.

אופרטורים הרמיטיים יכולים לפעול גם כן על ברה, על ידי הפונקציונל $(\langle \phi |{\hat {A}})\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;({\hat {A}}|\psi \rangle )$, ונהוג לסמן פונקציונל כזה בצורה $\langle \phi |A|\psi \rangle$.

עבור אופרטורים לא הרמיטיים, מקובל הסימון:

1. $\ \langle \phi |{\hat {A}}|\psi \rangle =\langle \phi |{\hat {A}}\psi \rangle$
2. $\ \langle \phi |{\hat {A^{\dagger }}}|\psi \rangle =\langle {\hat {A}}\phi |\psi \rangle$

דרך נוחה אחרת להגדיר אופרטורים ליניאריים על המרחב $H$ הוא על ידי מכפלה חיצונית: עבור ברה $\langle \phi |$ וקט $|\psi \rangle$ מוגדר אופרטור על ידי המכפלה החיצונית ${\hat {P}}=|\psi \rangle \langle \phi |$, כך שלכל קט $|\rho \rangle$,

$${\hat {P}}|\rho \rangle =|\psi \rangle \langle \phi |\rho \rangle =\langle \phi |\rho \rangle \cdot |\psi \rangle$$

כלומר, אחרי הפעלת האופרטור, המכפלה הפנימית $\langle \phi |\rho \rangle$ תהיה המקדם של הקט $|\psi \rangle$.

שימוש מרכזי בהגדרה זו הוא בהצגת אופרטור הטלה: כאשר נתון וקטור $\langle \phi |$ בעל נורמה 1 (כלומר: $\langle \phi |\phi \rangle =1$), האופרטור $|\phi \rangle \langle \phi |$ מבצע הטלה האורתוגונלית לתוך תת-המרחב הנפרש על ידי $|\phi \rangle$.

בנוסף, בהינתן בסיס שלם $\{|\psi _{i}\rangle \}_{i}$, ניתן להציג כל אופרטור ${\hat {A}}$ כסכום איברים,

$${\hat {A}}=\sum _{i,j}a_{ij}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{j}|$$

כך שהמקדמים מקיימים $a_{ij}=\langle \psi _{i}|{\hat {A}}|\psi _{j}\rangle$, והם נקראים "איברי המטריצה של ${\hat {A}}$". בפרט, אם המקדמים $a_{ij}$ הם הדלתא של קרונקר ($\delta _{ij}$), האופרטור הוא אופרטור היחידה, ומסמנים: ${\hat {1}}=\sum _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$

הצגה במושגים של ברה וקט

במכניקת הקוונטים לעיתים קרובות נוח לעבוד עם ההטלות של מצבים וקטורים לתוך בסיס מסוים, מאשר עם הווקטורים עצמם. הסיבה לכך היא שההיטלים הם מספרים מרוכבים, אשר אפשר לנסח במונחים של משוואה דיפרנציאלית חלקית (דוגמה לכך אפשר לראות בפיתוח המצבים העצמיים של משוואת שרדינגר).

לדוגמה, מרחב הילברט של חלקיק נקודתי בעל ספין אפס נפרש על ידי בסיס המקום $\lbrace |\mathbf {x} \rangle \rbrace$ כאשר הסימון $\mathbf {x}$ מייצג סט של וקטורי בסיס. אם נתחיל על קט כלשהו $|\psi \rangle$ במרחב הילברט, אנו יכולים לאפיינו באמצעות פונקציה סקלרית של $\mathbf {x}$ הידועה בשם פונקציית הגל: $\psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |\psi \rangle$ תחת הצגה זאת נהוג להגדיר אופרטור ליניארי הפועל על פונקציות גל במונחים של אופרטורים ליניאריים הפועלים על קטים על ידי $A\psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |A|\psi \rangle$

למרות שהאופרטור $A$ הנמצא בצד שמאל של המשוואה מסומן בצורה זהה לזאת של האופרטור $A$ בצד ימין יש להבין כי מדובר בשתי ישויות מתמטיות שונות מבחינה קונספטואלית. בעוד הראשונה פועלת על פונקציות גל, השנייה פועלת על קטים, משמע על וקטורים במרחב הילברט.

לדוגמה: אם כי לאופרטור התנע $p$ יש, באופן תאורטי, את הצורה הבאה: $\mathbf {p} \psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |\mathbf {p} |\psi \rangle =-i\hbar \nabla \psi (x)$ אין זה בלתי-סביר להיתקל גם בכתיבה מהצורה: $-i\hbar \nabla |\psi \rangle$

אפשר לומר כי שימוש זה הנו "שימוש חורג", למרות השימוש הנפוץ בו. במקרה זה יש לחשוב על האופרטור הדיפרנציאלי כאופרטור ליניארי מופשט במרחב הילברט הפועל על קטים ומקבל את משמעותו הדיפרנציאלית רק כאשר מתורגם הווקטור לפונקציית הגל בבסיס המקום.

מרחבי מכפלה

מבוא והגדרות

כאשר יש מספר מספרים קוונטים המאפיינים את המערכת, התיאור המתמטי הפורמלי שלה הוא למעשה מכפלה טנזורית (מכפלה חיצונית) של ה-קט-ים ממרחבי הילברט. לרוב משתמשים במרחבי מכפלה כאשר יש מספר חלקיקים בבעיה. שני מרחבי הילברט אשר נסמנם ב-$V$ ו-$W$ יכולים ליצור מרחב הילברט שלישי $V\otimes W$ בעזרת מכפלה טנזורית. במכניקת הקוונטים, מרחב זה משמש לתיאור מערכות מורכבות. אם מערכת מורכבת משתי מערכות שנסמנן ב-$V$ ו-$W$ בהתאמה, אז כל המערכת תתואר על ידי המכפלה הטנזורית של שני המרחבים (יוצא מן הכלל לכך הוא המצב בו שתי תתי-המערכות מתארות חלקיקים זהים. במקרה זה העניין מסובך יותר).

אם $|\psi \rangle$ הוא קט במרחב $V$ ו-$|\phi \rangle$ הוא קט במרחב $W$, אזי המכפלה הטנזורית של שני הקטים תהיה הקט $V\otimes W$. נהוג לרשום ביטוי זה גם כ-$|\psi \rangle |\phi \rangle$ או כ-$|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$ או לחלופין כ-$|\psi \phi \rangle$

דוגמה כללית

נניח שיש לנו 2 חלקיקים בעלי מסה זהה עם המילטוניאן

$\ H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+V({\vec {r_{1}}})+V({\vec {r_{2}}})$

לכל אחד יהיה סט מצבים עצמיים $\ |n\rangle \in \mathbb {H}$ כאשר H הוא מרחב הילברט שנפרש על ידי המצבים העצמיים של ההמילטוניאן $\ H={\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})$.

את התיאור של המצב הקוונטי של 2 החלקיקים נתאר באמצעות קט השייך למרחב המכפלה $\ |\psi \rangle \in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$, קט כזה יהיה מהצורה $\ |\psi \rangle =|n\rangle _{1}\otimes |k\rangle _{2}=|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}$ כאשר בכתיבת קט-ים נהוג להשמיט את סימן המכפלה הטנזורית.

סימטריות ביחס להחלפת חלקיקים

נהוג להגדיר אופרטור החלפת חלקיקים. עבור חלקיקים הוא מוגדר כך:

$\ P_{21}|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}=|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}$

עבור N חלקיקים מגדירים באופן דומה אופרטור פרמוטציה (תמורה) שמסדר מחדש את האינדקסים של N החלקיקים. חילוף (כלומר, אופרטור החלפת חלקיקים) הוא מקרה פרטי של פרמוטציה. למעשה, כל פרמוטציה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים.

אנו נאמר שפונקציית הגל (ליתר דיוק, המצב הקוונטי) סימטרית להחלפת חלקיקים אם $\ P_{21}|\psi \rangle =|\psi \rangle$.

לדוגמה: פונקציית הגל

$\ |\psi _{s}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}+|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}\right)$

היא סימטרית להחלפת חלקיקים שכן $\ P_{21}\left(|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}+|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}\right)=|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}+|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}=|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}+|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}$.

באותו אופן, נאמר שפונקציית הגל אנטי-סימטרית להחלפת חלקיקים אם $\ P_{21}|\psi \rangle =-|\psi \rangle$.

להגדרות ותכונות אלה יש חשיבות רבה כאשר מדובר במערכת של חלקיקים זהים. ניתוח פיזיקלי מתקדם (תורת שדות) ותוצאות של ניסויים הראו שניתן לסווג את כל החלקיקים בטבע על פי התנהגותם כאשר יש מערכת של זוג חלקיקים זהים:

• פרמיונים – חלקיקים שפונקציית הגל שלהם היא אנטי-סימטרית, והם מקיימים את עקרון האיסור של פאולי: שני פרמיונים לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי בעת ובעונה אחת.
• בוזונים – חלקיקים שפונקציית הגל שלהם היא סימטרית, ועשויים לאכלס את אותו המצב הקוונטי בו־זמנית.

החלפת ספין ומיקום

עבור חלקיק בעל ספין שאינו אפס, ניתן להציג את מרחב הילברת כמכפלה של מרחב מיקום $\mathbb {H}$ ומרחב ספין$\mathbb {S}$. אופרטור ההחלפה של חלקיקים יהיה, לפיכך, מכפלת ההחלפות בשני המרחבים - אם נסמן את המרחב בו פועל האופרטור באינדקס עליון, יתקיים $P_{21}^{\mathbb {S} \times \mathbb {H} }\mid s_{1}s_{2}\rangle \mid nk\rangle =P_{21}^{\mathbb {S} }\mid s_{1}s_{2}\rangle \otimes P_{21}^{\mathbb {H} }\mid nk\rangle =\mid s_{2}s_{1}\rangle \mid kn\rangle$, ובהכללה לצירופים ליניאריים. לכן, אם יש לנו מצב ספין s ומצב מיקום $\psi$, אם אנחנו מעוניינים שמכפלתם תהיה סימטרית להחלפה, צריך שגם מצב המיקום וגם מצב הספין יהיו סימטריים או ששניהם יהיו אנטי-סימטריים. אם אנחנו מעוניינים שמכפלתם תהיה אנטי-סימטרית, אז מתוך הספין והמיקום אחד צריך להיות סימטרי ואחד אינטי סימטרי.

דוגמה פרטית למרחב מכפלה

הדוגמה הנפוצה ביותר לשימוש במרחב מכפלה היא מצב EPR שמופיע בגרסת דייוויד בוהם לפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, מצב זה מתואר באופן מתמטי על ידי

$\ |{\mbox{EPR}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\uparrow \rangle _{1}|\downarrow \rangle _{2}-|\downarrow \rangle _{1}|\uparrow \rangle _{2}\right)$

כאשר הקט השמאלי יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 1 (כיוון החץ מציין את כיוון הספין) והקט הימני יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 2.

מצב זה הוא מצב שזור של אנטי-קורלציה מוחלטת, בכל כיוון שמודדים ספין - הספין של חלקיק 2 יהיה הפוך לזה של חלקיק 1 (אם מודדים ל-1 ספין מעלה, אזי 2 יימדד בהכרח ספין מטה. אם מודדים ל-1 ספין מטה, אז 2 יימדד בהכרח ספין מעלה).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סימון דיראק בוויקישיתוף

• סימני דיראק, סיכום של הרצאותיו של פרופסור אלכס גרסטן

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

23036591סימון דיראק