אופרטור

במתמטיקה, אוֹפֵּרַטוֹר או פעולה הוא סוג של פונקציה, הפועלת על מספר, קבוע או משתנה, של אברים בקבוצה, ותוצאתה היא אבר בקבוצה. האברים שעליהם פועל האופרטור נקראים אופרנדים.

"פעולות" – אופרטורים יסודיים

מקובלת הבחנה בין אופרטורים לפי מספר האופרנדים שהם פועלים עליהם:

• אופרטור אונארי או פעולה אונארית: אופרטור הפועל על אבר בקבוצה, ותוצאתו היא אבר בקבוצה. כלומר, פונקציה מהקבוצה אל עצמה $f:S\to S$.
• אופרטור בינארי או פעולה בינארית: אופרטור הפועל על שני אברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה), ותוצאתו היא אבר בקבוצה. כלומר, פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה אל הקבוצה $f:S\times S\to S$.
• אופרטור טרנארי הפועל על שלושה אברים בקבוצה, וכן הלאה.

מקובלות שלוש שיטות לכתיבתם של אופרטורים:

• פרפיקס: תחילה נכתב האופרטור ואחריו האופרנדים.

תבנית: $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$.

כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעיתים הסוגריים בעת כתיבתו.

דוגמה: האופרטור קוסינוס נכתב בצורה $\cos x$.

• פוסטפיקס: תחילה נכתבים האופרנדים ואחריהם האופרטור.

תבנית: $(x_{1},\ldots ,x_{n})Q$.

כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעיתים הסוגריים בעת כתיבתו.

דוגמה: האופרטור עצרת נכתב בצורה $n!$

• אינפיקס: האופרטור נכתב בין שני האופרנדים.

תבנית: $x_{1}Qx_{2}$.

דוגמה: האופרטור חיבור נכתב בצורה $3+4$

זוהי צורת הכתיב המקובלת לאופרטורים בינאריים נפוצים, כגון ארבע פעולות החשבון.

בכתיב המקובל נהוג שילוב של השיטות, בהתאם לצורת הרישום המקובלת של כל אופרטור. הנוסחה $\log(x)+n!$ למשל, משלבת את שלוש השיטות. כתיב פולני הוא טכניקת רישום שבמסגרתה נכתבות כל הנוסחאות בשיטת פרפיקס. למשל, במקום לכתוב $2+3$ נכתוב בכתיב פולני $+2,3$.

האופרטורים המוכרים ביותר, כגון ארבע פעולות החשבון, פועלים על מספרים, אך אופרטור הוא מושג כללי יותר, וישנם אופרטורים הפועלים על עצמים מתמטיים אחרים. אופרטור הנגזרת, למשל, הוא אופרטור אונארי, הפועל על פונקציה, ותוצאתו אף היא פונקציה. אופרטור בוליאני פועל על הערכים "אמת" ו"שקר" בלבד.

ביטוי הכולל אופרטורים אחדים יש לפרש ולחשב בהתאם לכללי קדימות אופרטורים.

אופרטורים לינאריים

בענפי המתמטיקה של אנליזה מתמטית ואלגברה לינארית, המונח אופרטור מציין העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים, לעיתים קרובות ממרחב אל עצמו. בשימוש הנפוץ באנליזה, אופרטור הוא התאמה שמקבלת פונקציה (בדרך כלל ממשית או מרוכבת) ומחזירה במקומה פונקציה אחרת.

אופרטור דיפרנציאלי הוא אופרטור שמערב נגזרות. למשל: האופרטור $A={\frac {d}{dx}}+g(x)$ הוא אופרטור דיפרנציאלי ופעולתו על פונקציה כלשהיא $f$ היא $Af(x)=f'(x)+g(x)f(x)$.

השימוש באופרטורים כאלה נפוץ במיוחד באנליזה מתמטית של מרחבי בנך ומרחבי הילברט. על מרחבים אלה אפשר להגדיר תכונות כגון חסימות, רציפות, סגירות ושלמות של אופרטור. על מרחבי הילברט אפשר אף להגדיר על אופרטור תכונות הדומות לאלה של מטריצות כגון הפיכות, סימטריות, הרמיטיות ועוד.

במכניקת הקוונטים, כל הגדלים המדידים מוגדרים באמצעות אופרטורים הרמיטיים.

קישורים חיצוניים

• אופרטור, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0