משפט לגראנז' (תורת החבורות)
משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם $ \ G $ חבורה סופית ו-$ \ H\subseteq G $ תת חבורה שלה, אז הסדר של $ \ H $ מחלק את הסדר של $ \ G $, כלומר $ \ {\frac {|G|}{|H|}} $ הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'.
מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי x היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של x). במלים אחרות, אם $ \ G $ חבורה סופית אז $ \ g^{|G|}=e $ לכל $ \ g\in G $. עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר.
אם $ \ G $ חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את $ \ |G| $. תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות - הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות $ \ A_{4} $, שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.
לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של n משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את $ \ n! $. הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה $ H $ של החבורה הסימטרית של n משתנים (הכוללת $ n! $ איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של H בחבורה הסימטרית, $ n!/|H| $.
הוכחת המשפט
לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של $ \ H $ מהווה חלוקה של $ \ G $, ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזה שווה לסדר של $ \ H $.
לצורך הטענה הראשונה, די להראות שהקבוצות $ \,aH $ זרות זו לזו. אכן, אם $ \ x\in aH $ אז $ xH\subseteq aHH=aH $, ומאידך אפשר לכתוב $ x=ah $ עבור $ \ h\in H $, ולכן גם $ a=xh^{-1}\in xH $, כך ש-$ aH\subset aH $ ולכן $ xH=aH $. כעת, אם $ aH\cap bH\neq \emptyset $, אז יש $ x\in aH,bH $ ולכן $ aH=xH=bH $.
כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של $ \ H $ שווה לסדר $ \ H $. לשם כך נבנה התאמה חד-חד ערכית מ$ \ H $ על מחלקה $ \ aH $ כלשהי שלה.
ההתאמה $ \ f:H\rightarrow aH $ תיבנה כך: $ \ f(h)=ah $.
נראה כי זו התאמה חד-חד ערכית: נניח כי $ \ f(h_{1})=f(h_{2}) $ אז $ \ ah_{1}=ah_{2} $ ואחרי צמצום נקבל $ \ h_{1}=h_{2} $.
נראה כי זו התאמה על: יהי $ \ x\in aH $, אז על פי הגדרת המחלקה, $ \ \exists h\in H:x=ah $ ולכן $ \ f(h)=x $.
על כן, הקבוצות $ \ H $ ו-$ \ aH $ שקולות, כלומר $ \ |H|=|aH| $.
כעת, לכל איבר ב$ \ G $ ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של $ \ H $. לכן מספר האיברים ב$ \ G $ הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של $ \ H $. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב$ \ G $. יהי $ \ k $ מספר המחלקות, אז $ \ k\cdot |H|=|G| $, כלומר סדר $ \ H $ מחלק את סדר $ \ G $ ובכתיב מתמטי $ \ |H|||G| $, כפי שהיה להוכיח.
