מרובע שניתן לחסום במעגל בגאומטריה אוקלידית , משפט תלמי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע . המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן ההמאה ה-2 , פטולמאוס קלאודיוס תַלְמַי .
ניסוח המשפט: אם במרובע
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
∠
A
+
∠
C
=
∠
B
+
∠
D
{\displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D}
A
C
⋅
B
D
=
A
B
⋅
C
D
+
B
C
⋅
A
D
{\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}
מכיוון שכל מרובע המקיים תנאי זה ניתן לחסום במעגל , הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא: בכל מרובע ציקלי , סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים .
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.
הוכחה מבנה ההוכחה של משפט תלמי יהי
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
∠
A
+
∠
C
=
∠
B
+
∠
D
{\displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D}
נחסום את המרובע במעגל.
בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד
B
{\displaystyle B}
A
C
{\displaystyle AC}
K
{\displaystyle K}
∠
A
B
K
=
∠
C
B
D
{\displaystyle \angle ABK=\angle CBD}
∠
B
A
C
=
∠
B
D
C
{\displaystyle \angle BAC=\angle BDC}
זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת
B
C
^
{\displaystyle {\widehat {BC}}}
משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים
A
K
B
,
D
C
B
{\displaystyle AKB,DCB}
דומים , ולכן
A
K
A
B
=
C
D
B
D
{\displaystyle {\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}}
∠
A
C
B
=
∠
A
D
B
{\displaystyle \angle ACB=\angle ADB}
A
B
^
{\displaystyle {\widehat {AB}}}
מבניית העזר
∠
A
B
K
=
∠
C
B
D
{\displaystyle \angle ABK=\angle CBD}
∠
A
B
D
=
∠
A
B
K
+
∠
K
B
D
∠
C
B
K
=
∠
C
B
D
+
∠
K
B
D
{\displaystyle {\begin{aligned}\angle ABD&=\angle ABK+\angle KBD\\\angle CBK&=\angle CBD+\angle KBD\end{aligned}}}
∠
A
B
D
=
∠
C
B
K
{\displaystyle \angle ABD=\angle CBK}
משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים
K
B
C
,
A
B
D
{\displaystyle KBC,ABD}
C
K
B
C
=
A
D
B
D
{\displaystyle {\frac {CK}{BC}}={\frac {AD}{BD}}}
מיחסי הדמיון הנ"ל נקבל:
A
K
⋅
B
D
=
A
B
⋅
C
D
C
K
⋅
B
D
=
B
C
⋅
A
D
{\displaystyle {\begin{aligned}AK\cdot BD=AB\cdot CD\\CK\cdot BD=BC\cdot AD\end{aligned}}}
נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל:
A
B
⋅
C
D
+
B
C
⋅
A
D
=
(
A
K
+
C
K
)
⋅
B
D
{\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD=(AK+CK)\cdot BD}
אבל
A
K
+
C
K
=
A
C
{\displaystyle AK+CK=AC}
A
C
⋅
B
D
=
A
B
⋅
C
D
+
B
C
⋅
A
D
{\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}
אי-שוויון תלמי והכיוון ההפוך למשפטמרובע שלא ניתן לחסום במעגל כל מרובע
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
B
⋅
C
D
+
B
C
⋅
A
D
≥
A
C
⋅
B
D
{\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD\geq AC\cdot BD}
אם ורק אם ניתן לחסום את המרובע במעגל.
ראו גם 
