משפט תלמי
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
בגאומטריה אוקלידית, משפט תלמי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן ההמאה ה-2, פטולמאוס קלאודיוס המוכר בקצרה בשם תַלְמַי.
ניסוח המשפט: אם במרובע $ ABCD $ סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני, כלומר: $ \angle A+\angle C=\angle B+\angle D $ , אז:
- $ AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD $
מכיוון שכל מרובע המקיים תנאי זה ניתן לחסום במעגל, הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא: בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.
הוכחה
- יהי $ ABCD $ עבורו $ \angle A+\angle C=\angle B+\angle D $
- נחסום את המרובע במעגל.
- בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד $ B $ החותך את הצלע $ AC $ בנקודה $ K $ עבורה $ \angle ABK=\angle CBD $ (במקרה הפרטי של ריבוע הישר מתלכד עם האלכסון).
- $ \angle BAC=\angle BDC $ כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת $ {\widehat {BC}} $ .
- משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים $ AKB,DCB $ דומים, ולכן $ {\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}} $ .
- $ \angle ACB=\angle ADB $ כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת $ {\widehat {AB}} $ .
- מבניית העזר $ \angle ABK=\angle CBD $ . כמו-כן $ {\begin{aligned}\angle ABD&=\angle ABK+\angle KBD\\\angle CBK&=\angle CBD+\angle KBD\end{aligned}} $ , ולכן $ \angle ABD=\angle CBK $ .
- משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים $ KBC,ABD $ דומים, ולכן $ {\frac {CK}{BC}}={\frac {AD}{BD}} $ .
- מיחסי הדמיון הנ"ל נקבל:
- $ {\begin{aligned}AK\cdot BD=AB\cdot CD\\CK\cdot BD=BC\cdot AD\end{aligned}} $
- נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל: $ AB\cdot CD+BC\cdot AD=(AK+CK)\cdot BD $
- אבל $ AK+CK=AC $ ולכן $ AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD $ .
אי-שוויון תלמי והכיוון ההפוך למשפט
כל מרובע $ ABCD $ מקיים את אי-השוויון $ AB\cdot CD+BC\cdot AD\geq AC\cdot BD $ . שוויון מתקיים אם ורק אם ניתן לחסום את המרובע במעגל.
ראו גם
