בגאומטריה אוקלידית, משפט תלמי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן ההמאה ה-2, פטולמאוס קלאודיוס המוכר בקצרה בשם תַלְמַי.
ניסוח המשפט: אם במרובע
סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני, כלומר:
, אז:
![{\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a3355d706c67c614eed4dc8362f492cb1c6923)
מכיוון שכל מרובע המקיים תנאי זה ניתן לחסום במעגל, הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא: בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.
הוכחה
- יהי
עבורו ![{\displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdc93416cadc2cfc99de5bae73a0b7a539fb088)
- נחסום את המרובע במעגל.
- בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד
החותך את הצלע
בנקודה
עבורה
(במקרה הפרטי של ריבוע הישר מתלכד עם האלכסון).
כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת
.
- משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים
דומים, ולכן
.
כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת
.
- מבניית העזר
. כמו-כן
, ולכן
.
- משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים
דומים, ולכן
.
- מיחסי הדמיון הנ"ל נקבל:
![{\displaystyle {\begin{aligned}AK\cdot BD=AB\cdot CD\\CK\cdot BD=BC\cdot AD\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc51973f35807b49a1a640c6366e336675b1a834)
- נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל:
![{\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD=(AK+CK)\cdot BD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06541939b6ca9375a7f97ecce409c7570730c9b)
- אבל
ולכן
.
אי-שוויון תלמי והכיוון ההפוך למשפט
מרובע שלא ניתן לחסום במעגל
כל מרובע
מקיים את אי-השוויון
. שוויון מתקיים אם ורק אם ניתן לחסום את המרובע במעגל.
ראו גם