משפט הסינוסים

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש כללי לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם a,b,c הם אורכי הצלעות ו- $ \alpha ,\beta ,\gamma $ הזויות שמולן, בהתאמה, אז $ {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }=2R $ כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

הוכחה

א

גובה המשולש המסומן ב - $ h $ ניתן להצגה באופן הבא:

$ \ h=b\sin \alpha $

אבל גם באופן הזה:

$ \ h=a\sin \beta $

ולכן:

$ \ b\sin \alpha =a\sin \beta $

או

$ \ {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }} $

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כאשר המשולש קהה-זווית, תהליך ההוכחה כולל שלב ביניים לפי הזווית המשלימה לזווית הקהה ולאחר מכן חוזרים לזווית הקהה עצמה על פי הזהות $ \sin \alpha =\sin(180-\alpha ) $. כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.

ב

אם מרכז המעגל החוסם הוא O, נמשיך את BO עד שהוא נפגש עם המעגל ונקרא לנקודת החיתוך D.

נתבונן במשולש BDC. במשולש ישר-זווית זה (זווית ההיקפית BCD היא בת 90 מעלות בגלל שהיא נשענת על קוטרו של המעגל). נסמן ב -$ \delta $ את הזווית CDB ואז

$ \ a=2R\sin \delta $

אבל זווית $ \delta $ שווה לזווית $ \alpha $ כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

$ \ a=2R\sin \alpha $

או

$ \ {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R $

כנדרש.

נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

$ \ {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }} $

שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה $ \alpha $ הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה $ \beta $.

ראו גם

• משפט הקוסינוסים
• משפט הטנגנסים

קישורים חיצוניים

• משפט הסינוסים, באתר MathWorld (באנגלית)
• משפט הסינוסים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הסינוסים35982204Q170181