וקטור נורמלי
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
וקטור נורמלי (Normal), המוכר גם בגאומטריה כנורמל, הוא וקטור (או ישר) המאונך לאובייקט המתאים; ישר, מישור או משטח כללי.
מציאת וקטור הנורמל
- מציאת וקטור הנורמל במישור: $ Ax+By+C=0 $ - כאן וקטור הנורמל הוא: $ (A,B) $. כלומר, ווקטור הנורמל הוא המקדמים של x ו-y.
- מציאת וקטור הנורמל במרחב: $ Ax+By+Cz+D=0 $ - כאן וקטור הנורמל הוא $ (A,B,C) $.
- אם הישר או המישור נתונים בהצגה פרמטרית, ניתן למצוא את הווקטור על ידי המשוואות שמראות שהמכפלה הסקלרית של הווקטור הנורמלי בוקטורי הכיוון של הישר או המישור שווה לאפס.
- בהינתן הצגה פרמטרית של משטח כלשהו(לא בהכרח מישור), הווקטור הנורמלי של המשטח יהיה מכפלה וקטורית בין וקטורי הנגזרות החלקיות של הפרמטרים המגדירים של המשטח.
דוגמאות
- מציאת וקטור נורמלי למשטח $ z=4-x^{2}-y^{2} $ בנקודה $ (x,y,z) $. הצגתו הפרמטרית של המשטח היא : $ S=(x,y,4-x^{2}-y^{2}) $, מכיוון שהמשטח דו־ממדי הוא מתואר באמצעות שני פרמטרים בלבד, $ x $ ו $ y $. הנגזרת החלקית של S לפי $ x $ היא $ {\partial S \over \partial x}=(1,0,-2x) $ והנגזרת החלקית של S לפי $ y $ היא $ {\partial S \over \partial y}=(0,1,-2y) $. הווקטור הנורמלי למשטח מתקבל על ידי $ {\partial S \over \partial x}\times {\partial S \over \partial y}={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&0&-2x\\0&1&-2y\end{vmatrix}}=(2x,2y,1) $. כלומר לכל נקודה $ (x,y,z) $, הווקטור $ {\vec {n}}=(2x,2y,1) $ ניצב למשטח הפונקציה $ z=4-x^{2}-y^{2} $. ווקטור היחידה המנורמל הוא $ {\widehat {n}}={{\vec {n}} \over \lVert {\vec {n}}\rVert }={(2x,2y,1) \over {\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+1}}} $.
שימושים
לווקטור הנורמל מספר שימושים:
- וקטורים מאונכים אם ורק אם המכפלה הסקלרית של הנורמלים שלהם שווה לאפס.
- מגדירים אלמנט שטח אינפיניטסימלי בנקודה P על ידי $ {\vec {dA}}=(dA){\vec {n}} $ כאשר $ {\vec {n}} $ הוא וקטור נורמל באורך יחידה הניצב למשטח האינפיניטסימלי בנקודה P.
ראו גם
וקטור נורמלי39494214Q273176