משטח ישרים

בגאומטריה, משטח ישרים (באנגלית: Ruled surface) הוא משטח שבו דרך כל נקודה, עובר ישר השוכן על המשטח. מלבד המישור עצמו, גם הגליל, והחרוט הם משטחי ישרים. לעומת זאת, פני הכדור אינם משטח ישרים.

קל להסביר משטח ישרים כאשר חושבים על יצירתו באמצעות משיכה של קו ישר. לדוגמה:

מישור ניתן ליצור על ידי הזזה של קו ישר לאורך קו ישר אחר.
גליל ניתן ליצור על ידי הזזה של קו ישר, תוך שהוא שומר על מרחק קבוע מישר מקביל אליו.
חרוט ניתן ליצור על ידי הזזה של קו ישר שנקודה אחת שלו (קודקוד החרוט) מקובעת ואילו נקודה אחרת שלו נעה במעגל.

משטחי ישרים נוספים הם הפרבולואיד ההיפרבולי, הקונואיד, המשטח הבורגי. טבעת מביוס ניתנת לשיכון במשטח ישרים, למרות שהיא אינה כזו בעצמה. האליפסואיד, וכמוהו כל משטח קומפקטי, אינו משטח ישרים. הפרבולואידים, למעט הפרבולואיד ההיפרבולי, אינם משטחי ישרים.

ישנם משטחי ישרים בהם על כל נקודה ניתן להעביר שני ישרים שונים ששוכנים עליו ולא רק ישר אחד. משטחים אלו מכונים באנגלית "doubly ruled". המשטח היחיד בו ניתן על כל נקודה למצוא יותר משני ישרים ששוכנים עליו (למעשה אינסוף) הוא המישור.

משטחי ישרים ומשטחים פריסים

ההצגה הפרמטרית של משטח ישרים

משטח ישרים הנוצר על ידי שני עקומי בז'ייר כעקומים מנחים (באדום וירוק).

יריעה דיפרנציאבילית תיקרא משטח ישרים אם היא מהווה איחוד של משפחה בת-פרמטר אחד של קווים ישרים. הישרים במשפחה הזאת הם היוצרים של משטח הישרים.

משטח ישרים ניתן לתיאור על ידי הצגה פרמטרית מהצורה

(CR) $\quad \mathbf {x} (u,v)={\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {blue}\mathbf {r} (u)}\ ,\ v\in \mathbb {R} \ ,$ .

כל עקומה $\;v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)\;$ עם פרמטר קבוע $u=u_{0}$ היא יוצר, בעוד שהעקום $\;u\mapsto \mathbf {c} (u)\;$ הוא עקום מכוון (directrix) של ההצגה. הווקטורים $\;\mathbf {r} (u)\neq {\bf {0\;}}$ מתארים את הכיוונים של היוצרים.

לעיתים, אחד העקומים המכוונים עשוי לקרוס לנקודה (למשל, במקרה של חרוט).

באופן חלופי, משטח הישרים (CR) ניתן לתיאור גם כ-

(CD) $\quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;{\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {green}\mathbf {d} (u)}\$ .

כאשר העקום המכוון השני הוא $\;\mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)\;$ .

משטחי ישרים המהווים משטחים פריסים

כל המשטחים הפריסים הם משטחי ישרים; עם זאת, הטענה ההפוכה אינה נכונה, ובחלק זה נאפיין את משטחי הישרים המהווים גם משטחים פריסים.

בעבור הקביעה של הווקטור הנורמל למשטח הישרים בנקודה נתונה נזדקק לנגזרות החלקיות של ההצגה $\quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)$ :

\mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\;\mathbf {\dot {r}} (u)\

,

\quad \mathbf {x} _{v}=\;\mathbf {r} (u)

ולפיכך הווקטור הנורמל הוא

$\mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} )\$ .

מכיוון ש- $\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0$ (מכפלה מעורבת שמכילה שני וקטורים זהים היא תמיד 0), הווקטור $\mathbf {r} (u_{0})$ הוא וקטור משיק בכל נקודה $\mathbf {x} (u_{0},v)$ . המישורים המשיקים למשטח בכל הנקודות על הישר הזה יהיו זהים אם $\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r}$ יהיה כפולה של $\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r}$ . זה אפשרי רק כאשר שלושת הווקטורים $\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \$ נחים במישור (כלומר פורשים מישור ולא מרחב תלת-ממדי), כלומר כאשר הם תלויים ליניארית. התלות הליניארית של שלושת הווקטורים הללו ניתנת לבדיקה באמצעות חישוב הדטרמיננטה של שלושת הווקטורים הללו:

המישורים המשיקים לאורך הישר $\mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\;\mathbf {r} (u_{0})$ יהיו זהים, אם

\det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0})\;,\;\mathbf {\dot {r}} (u_{0})\;,\;\mathbf {r} (u_{0}))\;=\;0\

.

החשיבות של קריטריון הדטרמיננטה הזה באה לידי ביטוי בטענה הבאה:

משטח ישרים $\quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)$ הוא פריס למישור, אם בכל נקודה עקמומיות גאוס מתאפסת. זה קורה בדיוק כאשר

\det(\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} )\;=\;0\quad

בכל נקודה.

את השקילות בין התאפסות עקמומיות גאוס לאי-השתנות של המישור המשיק כאשר נעים לאורך ישר יוצר ניתן להבין על ידי מיפוי גאוס - אודות לאי-השתנות הווקטור הניצב למישור המשיק, התמונה של אלמנט שטח של משטח הישרים (תחת מיפוי גאוס) על ספירת היחידה היא בהכרח עקומה חד-ממדית בעלת שטח אפס. מכיוון שעקמומיות גאוס היא גם היחס בין שטח התמונה לשטח המקור, נקבל שאי-השתנות המישור המשיק גוררת עקמומיות גאוס אפס.

המסקנה המתבקשת מתנאי הדטרמיננטה היא שמשטח ישרים אשר בו הווקטורים $\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \$ פורשים מרחב תלת-ממדי יהיה משטח בלתי פריס. באופן שקול, ניתן לתאר זאת במונחי $\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {d}} \;,\;\mathbf {r} \$ (הנגזרות של c ו-d הן הווקטורים המשיקים לשני עקומי ההכוונה של משטח הישרים) היות ש-: $\mathbf {\dot {d}} \;=\;\mathbf {\dot {c}} \;+\;\mathbf {\dot {r}} \$ .

את ההבדל בין משטח ישרים שאינו משטח פריס למשטח ישרים שהוא גם משטח פריס כפי שבא לידי ביטוי בתנאי הדטרמיננטה ניתן להמחיש ביתר בהירות באמצעות ההשוואה בין שני משטחי ישרים: גליל (או חרוט) והיפרבולואיד.

הגליל הוא משטח ישרים שבו $\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {d}} \;$ הם וקטורים זהים, ולפיכך יחד עם היוצר $\mathbf {r}$ הם פורשים בכל רגע מישור. לעומת זאת, ההיפרבולואיד הוא משטח ישרים הנוצר על ידי זיהוי וחיבור בקו ישר של שתי נקודות שונות במעגל העליון והתחתון (מוראה באיור השמאלי עבור חיבור כל שתי נקודות הנבדלות זו מזו בחצי-זווית מרכזית $\varphi =63^{\circ }$ ), ולפיכך הווקטורים המשיקים המתאימים $\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {d}} \;$ פורשים לבדם מישור, ויחד עם הקו היוצר $\mathbf {r}$ פורשים מרחב תלת-ממדי. יש לציין שהמקרה של חצי-זווית מרכזית $\varphi =90^{\circ }$ הוא מקרה מנוון של היפרבולואיד שהופך לחרוט כפול, ולפיכך הוא כן פריס.