מיפוי גאוס

מיפוי גאוס מעתיק כל נקודה על עקום או משטח לנקודה המתאימה על ספירת היחידה.

בגאומטריה דיפרנציאלית, מיפוי גאוס (שנקרא על שם קרל פרידריך גאוס) ממפה משטח במרחב אוקלידי R³ לספירת היחידה S². כלומר, בהינתן משטח X ב-R³, מיפוי גאוס הוא העתקה רציפה N: X → S² כך ש-(N(p הוא וקטור יחידה הניצב ל-X ב- p, כלומר וקטור הנורמל ל-X ב-p.

גאוס כתב מאמר על הנושא ב-1825, אותו פרסם ב-1827.

הקשר לעקמומיות גאוס

גאוס, שבעבודתו על גאומטריה דיפרנציאלית שאב השראה רבה מאסטרונומיה תאורטית, הגדיר את עקמומיות גאוס בנקודה A כיחס בין שטח התמונה של סביבה שלה (התמונה על ספירת היחידה תחת מיפוי גאוס) לשטח המקורי של הסביבה שלה (שטח האזור המועתק):

$|K(A)|=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {area(N(D_{\epsilon }))}{area(D_{\epsilon })}}$

כאן $D_{\epsilon }$ היא סביבה אינפיניטסימלית של הנקודה A. גאוס הוכיח שהגדרה זו שקולה להגדרה השנייה של עקמומיות משטח בנקודה, דהיינו כמכפלת שתי העקמומיות הראשיות (principle curvatures) שלו בנקודה. גאוס סיפק גם נוסחה אנליטית לחישוב עקמומיות גאוס, דרך הדטרמיננטות של התבנית היסודית הראשונה והשנייה. בניסוח פורמלי, עקמומיות גאוס שווה ליחס בין הדטרמיננטה של התבנית היסודית השנייה לדטרמיננטה של התבנית היסודית הראשונה:

$K={LN-M^{2} \over EG-F^{2}}$ .

השטח של התמונה של מיפוי גאוס נקרא על ידי גאוס העקמומיות הכוללת (Total Curvature) והוא שווה לאינטגרל המשטחי על עקמומיות גאוס.

דוגמאות

התמונה של מיפוי גאוס של משטח בעל עקמומיות גאוס אפס תהיה תמיד עקום על ספירת היחידה, שכן היא לא יכולה להכיל שטח. כך למשל התמונה של גליל תהיה מעגל גדול, בעוד התמונה של חרוט תהיה מעגל קטן (מעגל לא גיאודזי) על ספירת היחידה.