גופי סיבוב של חתכי חרוט

גוף סיבוב של חתך חרוט הוא גוף תלת ממדי הנוצר באמצעות סיבוב של חתך חרוט סביב צירו. שמו של גוף הסיבוב נגזר בדרך כלל משמו של חתך החרוט באמצעות הסיומת "איד":

• אליפסה – ספרואיד
• פרבולה – פרבולואיד
• היפרבולה – היפרבולואיד

ספרואיד

ספרואיד אובלי	ספרואיד פרבולי

ערך מורחב – ספרואיד

ספרואיד הוא גוף סיבוב שנוצר מסיבוב אליפסה מסביב לאחד משני צירי הסימטריה שלה. במערכת צירים קרטזית, משוואת הספרואיד שמרכזו בראשית וציר הסימטריה שלו הוא ציר ה-z נתונה על ידי אוסף הפתרונות של המשוואה:

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

הספרואיד הוא מקרה פרטי של אליפסואיד בו שניים מהצירים שווים.

פרבולואיד

ערך מורחב – פרבולואיד

פרבולואיד

נתון על ידי המשוואה

$\ z=ax^{2}+by^{2}$

פרבולואיד הוא גוף סיבוב שנוצר מסיבוב פרבולה סביב ציר הסימטריה שלה.

אם נחתוך את הפרבולואיד במקביל למישור x-y נקבל או קבוצה ריקה או אליפסה שמשוואתה היא

$\ \left({\frac {x}{\sqrt {z/a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{\sqrt {z/b}}}\right)^{2}=1$

כאשר a=b=1 מתקבל פרבולואיד סימטרי במיוחד שניתן לתארו במספר צורות:

• אוסף של מעגלים המונחים זה מעל זה, כך שהרדיוס של המעגל המונח בגובה z הוא $\ {\sqrt {z}}$. פרבולואיד זה מציג סימטריה מעגלית (גלילית) ולכן נקרא "פרבולואיד מעגלי".
• הפרבולה z=x² כאשר מסובבים אותה במישור x-y סביב ציר z. מסיבה זאת, פרבולואיד כזה נקרא לפעמים "פרבולה מסובבת" או "פרבולה של סיבוב".
• נפח פרבולואיד קטום הוא חצי מנפח הגליל החוסם אותו.

היפרבולואיד

היפרבולואיד (חד-יריעתי) עם חתימה 1+

היפרבולואיד (דו-יריעתי) עם חתימה 1-

היפרבולואיד הוא גוף סיבוב של ההיפרבולה, וצורתו תלויה במיקומו של ציר הסיבוב ביחס להיפרבולה. לתבנית הריבועית המגדירה את ההיפרבולואיד יש סימן סילבסטר 1+ או 1-. במקרה הראשון, המשוואה היא מהצורה $\ \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}=1$, ומתקבל היפרבולואיד חד-יריעתי, שהוא גוף הסיבוב של ההיפרבולה דרך ציר המאונך לקו המחבר את המוקדים. במקרה השני, המשוואה היא מהצורה $\ -\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}=1$, עם סימן 1-, ומתקבל היפרבולואיד דו-יריעתי.

מקרה פרטי חשוב הוא המשוואה:

$\ \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}=0$

להיפרבולה זו היפרבולואיד בצורת חרוט. נשים לב, שזו צורת הביניים במעבר בין שני סוגי ההיפרבולואיד.

ראו גם

• חתכי חרוט
• גאומטריה אנליטית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

19409280גופי סיבוב של חתכי חרוט