פרבולואיד היפרבולי אצטדיון בעל גג בצורת פרבולואיד היפרבוליפרינגלס , דוגמה לפרבולואיד היפרבוליבגאומטריה , פרבולואיד היפרבולי הוא משטח ישרים הדומה בצורתו לאוכף . אפשר לשרטט אותו במערכת צירים תלת־ממדית, על ידי המשוואה הבאה:
z
c
=
y
2
b
2
−
x
2
a
2
.
{\displaystyle {\frac {z}{c}}={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}
כאשר
c
>
0
{\displaystyle c>0}
פרבולה : כאשר
x
=
0
{\displaystyle x=0}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
מאפיינים ניתן להציג את הפרבולואיד ההיפרבולי גם בצורה הפרמטרית הבאה:
σ
→
(
u
,
v
)
=
(
u
,
v
,
u
2
a
2
−
v
2
b
2
)
{\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}
העקמומיות הגאוסית של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:
K
(
u
,
v
)
=
−
4
a
2
b
2
(
1
+
4
u
2
a
4
+
4
v
2
b
4
)
2
{\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}
והעקמומיות הממוצעת של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:
H
(
u
,
v
)
=
−
a
2
+
b
2
−
4
u
2
a
2
+
4
v
2
b
2
a
2
b
2
(
1
+
4
u
2
a
4
+
4
v
2
b
4
)
3
.
{\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}
אם נסתכל על הפרבולואיד ההיפרבולי מהצורה:
z
=
x
2
a
2
−
y
2
b
2
{\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}
אם נסובב אותו בכיוון החיובי של
z
{\displaystyle z}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
כלל יד ימין , נקבל את המשוואה:
z
=
(
x
2
+
y
2
2
)
(
1
a
2
−
1
b
2
)
+
x
y
(
1
a
2
+
1
b
2
)
{\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}
ואם a=b , אז אפשר לפשט ולקבל את המשוואה:
z
=
2
x
y
a
2
{\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}}
שימושים צורת האוכף דומה מאד לצורת הפרבולואיד היפרבולי. קיימים מבנים רבים אשר גגותיהם הם בצורה של פרבולואיד היפרבולי, כגון תחנות רכבת , אצטדיונים וכדומה. צורתו של החטיף פרינגלס היא פרבולואיד היפרבולי.
ראו גם
