פרבולואיד היפרבולי
בגאומטריה, פרבולואיד היפרבולי הוא משטח ישרים הדומה בצורתו לאוכף. אפשר לשרטט אותו במערכת צירים תלת־ממדית, על ידי המשוואה הבאה:
- $ {\frac {z}{c}}={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}. $
כאשר $ c>0 $. משוואה זאת יוצרת פרבולה: כאשר $ x=0 $ - פרבולה כלפי מעלה, וכאשר $ y=0 $ - פרבולה כלפי מטה.
מאפיינים
ניתן להציג את הפרבולואיד ההיפרבולי גם בצורה הפרמטרית הבאה:
- $ {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right) $
העקמומיות הגאוסית של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:
- $ K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}} $
והעקמומיות הממוצעת של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:
- $ H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}. $
אם נסתכל על הפרבולואיד ההיפרבולי מהצורה:
- $ z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}} $
אם נסובב אותו בכיוון החיובי של $ z $ בזווית של $ {\frac {\pi }{4}} $, אז על פי כלל יד ימין, נקבל את המשוואה:
- $ z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right) $
ואם a=b, אז אפשר לפשט ולקבל את המשוואה:
- $ z={\frac {2xy}{a^{2}}} $.
שימושים
צורת האוכף דומה מאד לצורת הפרבולואיד היפרבולי. קיימים מבנים רבים אשר גגותיהם הם בצורה של פרבולואיד היפרבולי, כגון תחנות רכבת, אצטדיונים וכדומה. צורתו של החטיף פרינגלס היא פרבולואיד היפרבולי.