משולש ישר-זווית
משולש יְשַׁר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.
במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.
משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.
תכונות
- משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
- התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
- משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל, והתיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
- הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
- ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר (תיכון היתר שווה למחציתו).
- כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
- הניצב מול זווית של 30 מעלות שווה למחצית היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה למחצית היתר - הזווית מולו שווה ל-30 מעלות.
- חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.
נוסחאות
אם הניצבים של המשולש הם $ \ a $ ו-$ \ b $, היתר הוא $ \ c $ והגובה ליתר הוא $ \ h $, אז מתקיים:
- $ \ a^{2}+b^{2}=c^{2} $ (משפט פיתגורס)
וכן:
- $ {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}} $
שטח המשולש הוא:
- $ {\text{Area}}={\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}} $
אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא $ \ r $, אז מתקיים:
- $ r={\frac {1}{2}}(a+b-c)={\frac {ab}{a+b+c}} $
אם התיכונים לניצבים הם $ \ m_{a} $ ו-$ \ m_{b} $ והתיכון ליתר הוא $ \ m_{c} $, אז מתקיים:
- $ m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2} $
הגדרת פונקציות טריגונומטריות
ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ($ {\frac {\pi }{2}} $ רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.
עבור זווית $ \alpha $ הכלואה בין הניצב $ \ b $ והיתר $ \ c $ ומול הצלע $ \ a $ מוגדר:
- $ \sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\tan \alpha ={\frac {a}{b}},\,\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\cot \alpha ={\frac {b}{a}},\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}} $
עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.
משולשים ישרי-זווית מיוחדים
משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לעיתים השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.
בעברית מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.
שלשה פיתגורית
שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $, המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, freewebs (בעברית)
- אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, mathportal (באנגלית)
- משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)
| מצולעים ופאונים | ||
|---|---|---|
| מושגים | מצולע • פאון • קודקוד • צלע • מקצוע • פאה • זווית חיצונית • אלכסון | |
| מצולעים | ||
| לפי מספר צלעות | משולש • מרובע • מחומש • משושה • משובע • מתומן | |
| משולשים | משולש ישר-זווית • משולש שווה-שוקיים • משולש שווה-צלעות | |
| מרובעים | מקבילית • טרפז • טרפז שווה-שוקיים • מרובע ציקלי • דלתון • דלתון ריצוף • מעוין • מלבן • ריבוע | |
| כוכבים | פנטגרם • מגן דוד • אניאגרם | |
| תכונות | מצולע משוכלל • מצולע שווה-צלעות • מצולע קמור • כוכב | |
| פאונים | ||
| פאונים משוכללים | ארבעון • קובייה • תמניון • תריסרון • עשרימון | |
| פאונים ארכימדיים | ארבעון קטום • קובוקטהדרון • קובייה קטומה • תמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת | |
| פאונים אחרים | פירמידה • מנסרה • אנטי-מנסרה • מקבילון • מעוינון • תיבה • איקוסיטטרהדרון | |
| תכונות | פאון משוכלל • פאון משוכלל למחצה • פאון ארכימדי | |
| הכללות | ||
| הכללות | סימפלקס • היפרקובייה • טסרקט | |
משולש ישר-זווית38410954Q158688