תיכון (גאומטריה)

משולש ושלושת התיכונים שלו

בגאומטריה אוקלידית, תיכון במשולש הוא קטע המחבר קודקוד במשולש עם אמצע הצלע שמולו. התיכון הוא אחת הבניות היסודיות בגאומטריה האוקלידית, לצד הגובה וחוצה הזווית, ונושאם של משפטים ובעיות רבות.

תכונות התיכון

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווים בשטחם (כיוון שלשני המשולשים אותו בסיס ואותו גובה).

משפט התיכון קובע שריבוע אורך התיכון $m$ הוא $m^{2}={\frac {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}}$ , כאשר $a$ הצלע אותה חוצה התיכון, ו-$b,c$ הצלעות האחרות.

שלושת הקווים – התיכון, חוצה הזווית והגובה – מתלכדים כאשר הם יוצאים מקודקוד הראש של משולש שווה-שוקיים, ושונים זה מזה בכל מקרה אחר.

במשולש ישר-זווית התיכון ליתר שווה למחציתו (ובכך מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים), ומהווה רדיוס במעגל החוסם את המשולש.

מפגש התיכונים

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת (לפי משפט צ'בה). נקודה זו, שהיא ממוצע שלושת הקודקודים, היא מרכז הכובד של המשולש. נקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס של 2:1 (כאשר החלק הארוך ליד הקודקוד והקצר ליד הצלע). הנקודה נמצאת על ישר אוילר.

שלושת התיכונים מחלקים את המשולש לשישה משולשים שווי-שטח.

במשולש שווה-שוקיים, התיכונים לשוקיים שווים באורכם. ולהפך: כל משולש שיש לו שני תיכונים שווים הוא שווה-שוקיים.

במשולש שווה-צלעות, שלושת התיכונים שווים באורכם.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תיכון בוויקישיתוף