אינטגרלי מסלול

שיטת אינטגרלי המסלול היא תיאור של מכניקת הקוונטים על פיה, למשל, ניתן להציג את הסתברות המעבר של חלקיק מנקודה אחת לאחרת כסכום (אינטגרל) על כל המסלולים האפשריים בהם החלקיק יכול לעבור בין שתי הנקודות. שיטה זו פותחה על ידי פיזיקאי חתן פרס נובל ריצ'רד פיינמן ב-1948. גישה זו מצטרפת לאלו של שרדינגר והייזנברג כתיאור נוסף של מכניקת הקוונטים. היא מדגישה את השוני בין המכניקה הקוונטית והמכניקה הקלאסית, כיוון שבזו האחרונה, מעבר חלקיק בין שתי נקודות נתונות מתבצע לאורך מסלול אחד ויחיד. אינטגרלי מסלול הוכיחו עצמם כיעילים מאד לצורך פיתוח התמונה הפיזיקלית, ופתרון של בעיות רבות בתורת הקוונטים, וההכללה שלהם לתורת שדות היא כיום "השפה" המקובלת של הפיזיקה התאורטית.

הערת מינוח

אינטגרלי המסלול (path integrals) שהוצגו על ידי פיינמן ב-1948 ובהם דן מאמר זה, הומצאו מתוך ניסיון להבנה עמוקה יותר של מכניקת הקוונטים והם שונים בתכלית מאינטגרלי המסלול במתמטיקה. במתמטיקה אינטגרלי מסלול (או אינטגרלים מסילתיים) מתייחסים לאינטגרלים של פונקציות (סקלריות או וקטוריות) לאורך מסילות במרחב. לעומת זאת כאן האינטגרציה היא של פונקציונלים והמסילות במרחב הן למעשה משתני האינטגרציה. כשם שחשבון וריאציות הוא הכללה של פעולת הנגזרת עבור פונקציונלים, אינטגרלי מסלול, בהקשר בו נדון כאן, מהווים הכללה של פעולת האינטגרציה.

דיון איכותי

בניגוד למכניקה הקלאסית הדטרמיניסטית, תיאור הדינמיקה של מערכות קוונטיות נעשה במונחים של הסתברות. בפרט, משוואת שרדינגר מתארת את ההתפתחות בזמן של מערכת קוונטית, היא משוואה עבור אמפליטודת הסתברות או פונקציית הגל אשר הערך המוחלט שלה בריבוע נותן את ההסתברות עבור מציאת החלקיק במקום מסוים או במצב מסוים. אינטגרלי המסלול של פיינמן מבטאים את אמפליטודת ההסתברות $\ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)$ למעבר מנקודת ההתחלה $\ x_{0}$ לנקודת הסיום $\ x_{f}$, לאחר זמן$\ t$, כסכום על כל המסלולים האפשריים $\ x^{(j)}(\tau )$ המחברים נקודות אלו, כלומר מסלולים שנקודת ההתחלה שלהם היא $\ x^{(j)}(\tau =0)=x_{0}$ ונקודת הסיום $\ x^{(j)}(\tau =t)=x_{f}$:

$$\ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=\sum _{\{x^{(j)}(\tau )\}}A_{j}e^{{\frac {i}{\hbar }}S[x^{(j)}(\tau )]}$$

כאן המקדם $\ A_{j}$ מייצג את המשקל (המידה) של תרומת המסלול ה-$\ j$י, ואילו $\ S[x^{(j)}(\tau )]$ הוא פונקציונל הפעולה הקלאסית של החלקיק הנע לאורך המסלול זה. אם, בפרט, נניח שחלקיק בעל מסה $\ m$ נע תחת ההשפעה של האנרגיה הפוטנציאלית $\ V(x)$, אזי פונקציונל הפעולה המתייחס למסלול כלשהו $\ x(\tau )$ הוא:

$$\ S[x(\tau )]=\int _{0}^{t}d\tau L\left({\dot {x}}(\tau ),x(\tau )\right)$$

כאשר

$$\ L({\dot {x}},x)={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x)$$

הוא הלגראנז'יאן של המערכת, ו $\ {\dot {x}}(\tau )$ מציין את מהירות החלקיק או הנגזרת לפי הזמן של מיקומו. הפעולה המחולקת בקבוע פלאנק מיצגת את הפאזה שצובר החלקיק לאורך המסלול. הפרוש של נוסחה זו הוא שחלקיק קוונטי עובר מנקודה אחת לשנייה דרך כל המסלולים האפשריים בו זמנית, וההתאבכות של התרומות מכל המסלולים היא שקובעת את אמפליטודת ההסתברות (ולכן גם את ההסתברות) למעבר.

ההצגה בעזרת אינטגרלי מסלול מבהירה את הבדל בין הדינמיקה הקלאסית והקוונטית: הדינמיקה הקלאסית נקבעת מעקרון הפעולה המינימלית לפיו המסלול בו נע החלקיק הוא זה עבורו פונקציונל הפעולה מינימלי. לעומת זאת התורה הקוונטית מאפשרת תנועה של החלקיק גם במסלולים אחרים עבורם הפעולה אינה מינימלית. למרות זאת, כפי שנראה בהמשך, למסלולים הקלאסיים, בהיותם "נקודות מינימום" של פונקציונל הפעולה (ע"ע חשבון וריאציות), מעמד מיוחד, ותרומתם בגבול של אורכי גל קצרים דומיננטית.

גזירה של אמפליטודת המעבר

בחלק זה נראה באופן פורמלי כיצד מקבלים את ההצגה של אמפליטודת ההסתברות למעבר בין שתי נקודות כאינטגרל מסלול. לשם פשטות, נתבונן במערכת חד-ממדית המתוארת באמצעות ההמילטוניאן:

$$\ H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x)$$

כאשר $\ m$ היא מסת החלקיק, $\ p$ התנע שלו, $\ x$ מיקומו ו- $\ V(x)$ האנרגיה הפוטנציאלית שלו. אמפילטודת המעבר מנקודה $\ x_{0}$ לנקודה $\ x_{f}$ נתונה בביטוי:

$$\psi _{x_{0}}(x_{f},t)=\langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht}|x_{0}\rangle$$

כאשר השתמשנו בסימון דיראק בו המצב $|x\rangle$ מציין מצב מקום. לגודל זה נהוג גם לקרוא אופרטור ההתפתחות בזמן (או הפרופגטור) כיוון שהוא מקדם את המערכת בזמן. מכיוון שהמערכת אינה תלויה מפורשות בזמן אפשר לרשום את האופרטור $\ e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht}$ כמכפלה של $\ N$ גורמים $\ \left(e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}\right)^{N}$ כאשר $\ t=N\Delta t$. לכן אמפליטודת המעבר היא:

$$\psi _{x_{0}}(x_{f},t)=\langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}\cdots e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}|x_{0}\rangle$$

בשלב הבא מציבים בין כל זוג גורמים במכפלה שלמעלה את אופרטור הזהות $\ I$ המבוטא באמצעות יחס השלמות של מצבי המקום:

$$\ I=\int dx|x\rangle \langle x|$$

מכאן מקבלים

$$\ \psi _{x_{0}}(x_{N},t)=\int dx_{1},dx_{2}\cdots dx_{N-1}\langle x_{N}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}|x_{N-1}\rangle \langle x_{N-1}|\cdots |x_{1}\rangle \langle x_{1}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}|x_{0}\rangle$$

כאשר לשם נוחות ההצגה החלפנו את המציין של נקודת הסיום להיות $\ x_{f}=x_{N}$. אופרטור ההתפתחות בזמן עבור פרק זמן קטן $\Delta t\to 0$ הוא:

$$\ \langle x_{j+1}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}|x_{j}\rangle ={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar \Delta t}}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\left({\frac {m}{2}}{\frac {(x_{j+1}-x_{j})^{2}}{\Delta t}}-V(x_{j})\right)}$$

ולכן אמפליטודת המעבר בגבול $\ N\to \infty$ היא

$$\ \psi _{x_{0}}(x_{N},t)=\int dx_{1},dx_{2}\cdots dx_{N-1}\left({\frac {m}{2\pi i\hbar \Delta t}}\right)^{\frac {N-1}{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\sum _{j=1}^{N-1}\Delta t\left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {x_{j+1}-x_{j}}{\Delta t}}\right)^{2}-V(x_{j})\right]}$$

לנוסחה זו ניתן לתת את הפרוש הבא: אמפליטודת ההסתברות למעבר בין שתי נקודות נתונות בפרק זמן $\ t$ היא מכפלה של אמפליטודות הסתברות למעבר דרך סדרת נקודות $\ (x_{0},x_{1},x_{2}\cdots x_{N})$ כאשר פרק הזמן למעבר בין כל שתי נקודות שכנות הוא $\ \Delta t$, ויש לסכם על כל נקודות הבינים האפשריות. אם נפרש את המשתנים $\ x_{j}$ כדגימה של הפונקציה $\ x(\tau )$, המתארת את מסלול החלקיק, בזמנים $\ \tau _{j}=j\Delta t$, אזי האינטגרל שלמעלה מתאר אינטגרציה על כל המסלולים האפשריים המחברים את נקודת ההתחלה והסיום.

השלב האחרון הוא בסך הכול הסימון של האנטגרל שלעיל. בהנחה ש- $\ x_{j}$ הן נקודות הדגימה של מסלול החלקיק $\ x(\tau )$, ניתן להבין את הסכום באספוננט כסכום רימן אשר בגבול $\ N\to \infty$ נותן את הפעולה לאורך המסלול:

$$\ \lim _{N\to \infty }\sum _{j=1}^{N-1}\Delta t\left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {x_{j+1}-x_{j}}{\Delta t}}\right)^{2}-V(x_{j})\right]=\int _{0}^{t}d\tau {\frac {m}{2}}{\dot {x}}^{2}(\tau )-V(x(\tau ))$$

ולכן נהוג לסמן את האינטגרל המסלולי בצורה:

$$\ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=\int Dx(\tau )e^{{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}d\tau L({\dot {x}},x)}$$

כאשר $\ L({\dot {x}},x)$ הוא הלגראנז'יאן של המערכת. הסמל $\ Dx(\tau )$ אנלוגי לסמל $\ dx$ באינטגרציה של פונקציות, ומשמעותו שיש לסכם על כל המסלולים עם משקל (מידה) הנקבעת דרך הדיסקרטיזציה של האינטגרל לנקודות זמן $\ \Delta t=t/N$, בגבול $\ N\to \infty$.

מקרים פרטיים

• חלקיק חופשי: $\ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=G(x_{f},t;x_{0},0)={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar t}}}\exp {\left({\frac {im}{2\hbar t}}(x_{f}-x_{0})^{2}\right)}$
• אוסצילטור הרמוני קוונטי: $\ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=G(x_{f},t;x_{0},0)={\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin(\omega t)}}}\exp {\left({\frac {im\omega }{2\hbar \sin(\omega t)}}\left((x_{f}^{2}+x_{0}^{2})\cos(\omega t)-2x_{f}x_{0}\right)\right)}$

הכללות

אינטגרלי מסלול, שהוצגו כאן עבור חלקיק יחיד בממד אחד, ניתנים להכללה בכמה אופנים:

• חלקיק יחיד הנע בממד גבוה יותר: במקרה יש ההכללה נעשית על ידי מעבר מהקואודינטה $\ x$ לוקטור הקואורדינטנות בעל ממד גבוה יותר, בפרט בשלושה ממדים $\ {\vec {r}}=(x,y,z)$.
• חלקיק הנע תחת השפעה של שדה מגנטי: ההכללה במקרה זה לוקחת בחשבון את ההתנהגות הלא-מקומית הנובעת מאפקט אהרונוב-בוהם. כמו כן אופן הבחירה של משקלות המסלולים (המידה) שונה מעט (ע"ע חשבון איטו).
• מערכות מרובות חלקיקים (בוזונים או פרמיונים): זוהי ההכללה החשובה ביותר של אינטגרלי מסלול כיוון שהיא מאפשרת לדון במערכות פיזיקליות כלליות כמו מתכות או אטומים מרובי אלקטרונים. (ע"ע תורת שדות).
• תיאור מערכות בשיווי משקל תרמודינמי: מתקבל על ידי המשכה אנליטית של אנטגרלי המסלול לזמן דמיוני.

שימושים

גזירת עקרון הפעולה המינימלית

המכניקה הקוונטית מהווה תיאור מיקרוסקופי מדויק של חוקי הפיזיקה, ולכן אפשר לצפות שחוקי המכניקה הקלאסית מתקבלים כגבול של התורה הקוונטית, כשם שחוקי ניוטון מתקבלים מתורת היחסות הפרטית בגבול של מהירויות נמוכות ממהירות האור. במקרה דנן, המכניקה הקלאסית מתקבלת מהגבול בו קבוע פלאנק שואף לאפס $\ \hbar \to 0$. כדי לראות שגבול זה מזדהה עם עקרון הפעולה המינימלית (ממנו נגזרים חוקי המכניקה הקלאסית) יש לזהות מהם המסלולים בעלי התרומה הגדולה ביותר לאינטגרל המסלולי המתאר את אמפליטודת המעבר בין שני מצבים. כפי שאפשר לראות אמפליטודת המעבר בעלת סינגולריות עיקרית בגבול $\ \hbar \to 0$. משמעות הדבר, כאן, שבגבול $\ \hbar \to 0$ שינוי קטן בצורת המסלול משנה את הפאזה שלו באופן משמעותי, ולכן הסכום על המסלולים, בדרך כלל, יתמצע לאפס בדומה לאינטגרציה של פונקציה מחזורית שהממוצע שלה אפס. יוצאים מן הכלל הם המסלולים אשר שינויים קטנים שלהם אינם משנים את הפאזה באופן משמעותי. מסלולים אלו הם המסלולים עבורם:

$$\ S[x(\tau )+\delta x(\tau )]-S[x(\tau )]=0$$

כאשר

$$\ S[x(\tau )]=\int d\tau L({\dot {x}},x)$$

הוא פונקציונל הפעולה, ו- $\ \delta x\left(\tau \right)$ מציינת וריאציה קטנה של המסלול $\ x(\tau )$, והאפס באגף ימין הוא עד כדי אבר מסדר שני בוריאציה (ע"ע חשבון וריאציות). המסלולים היחידים שתורמים בגבול הקלאסי $\ \hbar \to 0$ הם, אם כן, אלו שפעולתם מינימלית, ובכך הוכחנו את עקרון הפעולה המינימלית.

הקשר בין אינטגרלי מסלול ומכניקה סטטיסטית

מתברר שאינטגרלי המסלול של פיינמן, ובפרט פרופאגאטוריי פיינמאן, הם אנלוגיים לפונקציית החלוקה של מערכת קלאסית (בעלת מימד אחד גבוה יותר מהמימד של המערכת הקוונטית). אם אנו מעוניינים לעקוב אחרי דמיון זה, עלינו לבצע אינטגרל בזמן מדומה. לקשר זה משמעות גדולה כיוון שהוא מספק נקודת מבט נוספת על מערכות קוונטיות. נדגים אותו באמצעות דוגמה: נתבונן במיתר המתוח בין שתי נקודות $\ z_{0}$ ו-$\ z_{f}$ ונניח שהוא יכול לבצע תנודות רוחביות בכיוון ציר $\ x$ הניצב לישר שלאורכו מתוח המיתר כאשר הוא במנוחה. נוכל לתאר את צורת המיתר בעזרת הפונקציה $\ x(z)$. נניח כעת שהמיתר נמצא תחת השפעה של פוטנציאל כך שהאנרגיה של אלמנט אורך אינפינטיסימלי $\ dz$ היא $\ V(x(z))dz$. בנוסף לכך אם מתיחות המיתר היא $\ \mu$ אז האנרגיה הכרוכה בעיוות המיתר ממצב שיווי המשקל שלו לצורה כלשהי $\ x(z)$ נתונה על ידי הפונקציונל:

$$\ E[x(z)]=\int _{z_{0}}^{z_{f}}dz\left[{\frac {\mu }{2}}\left({\frac {dx(z)}{dz}}\right)^{2}+V(x(z))\right]$$

פונקציית החלוקה של מערכת זו, $\ Z$, מוגדרת להיות הסכום על כל מצבי המיתר האפשריים כאשר המשקל של מצב בעל אנרגיה $\ E$ הוא $\ e^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}$. כאן $\ k_{B}$ הוא קבוע בולצמן ו- $\ T$ היא הטמפרטורה, ולכן:

$$\ Z=\int Dx(z)e^{-{\frac {1}{k_{B}T}}\int dz\left[{\frac {\mu }{2}}\left({\frac {dx(z)}{dz}}\right)^{2}+V(x(z))\right]}$$

אמפליטודת המעבר $\ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)$ עבור זמן מדומה $\ t=-it'$ נתונה באינטגרל המסלולי:

$$\ \psi _{x_{0}}(x_{f},-it')=\int Dx(i\tau )e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t'}d\tau \left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {dx(i\tau )}{d\tau }}\right)^{2}+V(x(i\tau ))\right]}$$

המבנה של שני הביטויים שקיבלנו, פונקציית החלוקה של מיתר קלאסי, ואמפליטודת המעבר בזמן מדומה, זהה, ומכאן נובעת האנלוגיה בין שתי הבעיות. בטבלה הבאה מסוכמת אנלוגיה זו בין הבעיות:

האנלוגיה בין פונקציית חלוקה ואמפליטודת מעבר
פונקציית חלוקה	אמפליטודת מעבר
טמפרטורה $\ k_{B}T$	קבוע פלאנק $\ \hbar$
אורך המיתר $\ z_{f}-z_{0}$	זמן המעבר המדומה $\ -it'$
מתיחות $\ \mu$	מסה $\ m$
צורת המיתר $\ x(z)$	מיקום החלקיק כפונקציה של הזמן המדומה $\ x(-i\tau )$

אינטגרלי המסלול של פיינמן, האנלוגייה שלהם לבעיות בפיזיקה סטטיסטית, כמו גם אינטגרציה בזמן מדומה, אינן שעשוע מתמטי ותו לא. לאינטגרלי המסלול של פיינמן אפליקציות רבות ומגוונות בתחומים כגון מחקר של פולימרים, של DNA, של תנועה בראונית ואף של תנודות הבורסה. אינטגרלי המסלול של פיינמן נותנים אף רקע להבנה אינטואיטיבית של ההבדלים בין הסטטיסטיקה הפרמיונית והבוזונית.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אינטגרלי מסלול בוויקישיתוף