משוואת דיראק

משוואת דיראק היא משוואת גלים בפיזיקה קוונטית יחסותית. את המשוואה ניסח הפיזיקאי הבריטי פול דיראק בשנת 1928, והיא מתארת חלקיקים אלמנטריים בעלי ספין 1/2, שעימם נמנים האלקטרונים. המשוואה ניבאה את קיומם של אנטי-חלקיקים עוד לפני שאלה התגלו נסיונית, והיוותה השראה לניסויים שבהם נתגלה הפוזיטרון. משוואת דיראק מתארת חלקיק בודד, ללא יצירה וחיסול של חלקיקים (בהיבט זה מטפלת תורת השדות הקוונטית). המשוואה מספקת ניבויים טובים לגבי המומנט המגנטי של האלקטרון ומסבירה תצפיות של הקווים הספקטרליים של האטום.

רקע

משוואת שרדינגר איננה לוקחת בחשבון את תורת היחסות. כדי לקבל הכללה יחסותית למשוואה, היא חייבת להיות סימטרית בנגזרות, כלומר הנגזרות בזמן ובמקום צריכות להיות מאותו סדר. על פי תורת היחסות, התנע והאנרגיה הם רכיבים של 4 וקטור התנע-אנרגיה (ראה תורת היחסות הפרטית) ומקיימים את הקשר

\ E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}

כאשר $\ m$ היא מסת המנוחה של החלקיק, $\ c$ היא מהירות האור בריק, ו- $\ p$ הוא אופרטור התנע. משימוש בקשר זה מתקבלת משוואת קליין-גורדון:

-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=(m^{2}c^{4}-c^{2}\hbar ^{2}\nabla ^{2})\psi

הקבוע $\hbar$ הוא קבוע פלאנק. משוואה זאת היא הכללה ישירה של משוואת שרדינגר. עם זאת, הנגזרת השנייה לפי הזמן במשוואה זאת מצריכה תנאי התחלה על הנגזרת של פונקציית הגל, ולכן אי אפשר להגדיר צפיפות הסתברות שהיא גם חיובית וגם האינטגרל שלה נשמר. הבעייתיות של משוואה זאת היוותה את המוטיבציה לפיתוח משוואת דיראק, אך בהמשך נעשה בה שימוש בתורת השדות בתור משוואה של חלקיקים עם ספין אפס.

ההמילטוניאן של דיראק

כאלטרנטיבה לפיתוח המוביל למשוואת קליין-גורדון, הציע דיראק את ההמילטוניאן הבא

H=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} )c+\beta mc^{2}

אפשר להראות שכדי לקבל משוואה שהנגזרות המקומיות והזמניות שלה הן שתיהן מסדר ראשון, שגם מקיימת את הקשר היחסותי בין האנרגיה לתנע, האופרטורים המסומנים כ- ${\boldsymbol {\alpha }},\beta$ צריכים להיות יוניטריים ולקיים את יחס האנטי חילופיות

\alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=1

\ \lbrace \alpha _{i},\alpha _{j}\rbrace =2\delta _{ij}

אופרטורים המקיים את הדרישות הללו חייבים, בהצגה מטריצית, להיות מיוצגים על ידי מטריצות 4X4 לפחות. לא ניתן למצוא סט של ארבע מטריצות בלתי תלויות מסדר נמוך יותר שכולן מקיימות את האנטי-חילופיות. הפרשנות הפיזיקלית של ${\boldsymbol {\alpha }},\beta$ היא שהם אופרטורים הפועלים במרחב המכפלה בין אופרטורי בורגיות לבין אופרטורי הספין. קיימות הצגות שקולות לאופרטורים הללו, והמעבר בין ההצגות שקול לטרנספורמצית סיבוב במרחב הדו ממדי של הבורגיות. בהצגה הסטנדרטית:

\alpha _{j}=\rho _{1}\otimes \sigma ={\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}_{j}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{j}&0\end{pmatrix}}

\beta =\rho _{3}\otimes \mathbf {1} ={\begin{pmatrix}\mathbf {1} _{2}&0\\0&-\mathbf {1} _{2}\end{pmatrix}}

הצגה נפוצה נוספת היא ההצגה הבורגית:

\alpha _{j}=\rho _{3}\otimes \sigma

\beta =-\rho _{1}\otimes \mathbf {1}

כאן $\mathbf {1}$ מסמל את אופרטור היחידה במרחב הדו ממדי, והאופרטור $\sigma ={\frac {2}{\hbar }}S$ מיוצג על ידי מטריצות פאולי.

כדי לכלול בהמילטוניאן את האינטרקציה של החלקיק עם השדה האלקטרומגנטי מבצעים את ההחלפה

p\rightarrow p-{\frac {e}{c}}A

משוואת דיראק

המשוואה המתקבלת מההמילטוניאן של דיראק היא

[({\boldsymbol {\alpha \cdot p}})c+\beta mc^{2}]|\psi \rangle =E|\psi \rangle

באופן מפורש נכתבת המשוואה כך

\left(\beta mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)

כאשר $\ \mathbf {x}$ ו- $\ t$ הן קואורדינטות המרחב והזמן בהתאמה. כתוצאה מההגדרה של ההמילטוניאן, על פונקציית הגל $\ \psi (\mathbf {x} ,t)$ להיות מבוטאת כספינור ארבע-ממדי.

בפיתוח של המשוואה בקירוב הלא יחסותי, עם ההמילטוניאן הכולל את האינטרקציה עם השדה האלקטרומגנטי, מקבלים משוואה הכוללת באופן טבעי תיקונים שקודם לכן היה צורך להכניס משיקולים חיצוניים לתאוריה. בפיתוח עד סדר שני מתקבלים התיקונים היחסותיים לאנרגיה הקינטית והתיקון של אינטרקצית ספין מסילה.

פתרונות שליליים לאנרגיה

ההמילטוניאן של דיראק כולל את המכפלה ${\boldsymbol {\alpha \cdot p}}$ . מכיוון שהערכים העצמיים של מטריצות פאולי הם $\pm 1$ , הרי שהפתרונות לאנרגיה יכולים לקבל ערכים שליליים. יתרה מכך, האנרגיה של המערכת לא חסומה מלמטה כלומר למערכת כזאת אין מצב יסוד, פתרון שאיננו מתקבל על הדעת מבחינה פיזיקלית.

תוצאה מוזרה זו הובילה את דיראק למסקנה כי מצב היסוד של המערכת, או מצב הריק, הוא מצב שבו כל מצבי האנרגיה השליליים מאוכלסים (הים של דיראק). במצב שבו כל הרמות השליליות מאוכלסות, עקרון האיסור של פאולי ימנע מפרמיון מלרדת לרמות האנרגיה הנמוכות.

המסקנה מתיאור זה היא שכדי ליצור חור בים של דיראק יש להשקיע אנרגיה של לכל הפחות $\ 2mc^{2}$ (פעמיים מסת המנוחה של חלקיק) ותוצאה של יצירת חור תהיה יצירת זוג של חלקיק ואנטי חלקיק. דיראק ייחס בתחילה את החלקיק החיובי החזוי לפרוטונים, שהיו אז החלקיקים החיוביים הידועים היחידים, למרות שלחלקיקים החזויים צריכה הייתה להיות מסה זהה למסתו של האלקטרון.