מחלקה (תורת החבורות)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף קוסט)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה $ H $ היא קבוצה של איברי חבורה $ G $ אשר מתקבלת מהכפלת אברי $ H $ באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה $ H $ מהווה חלוקה של $ G $ לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה $ H $ בחבורה $ G $ נקרא האינדקס של $ H $ ב-$ G $, ומסומן $ [G:H] $. אם $ G $ סופית, אינדקס זה שווה ל-$ [G:H]={\frac {|G|}{|H|}} $.

חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה $ G=\{1,-1,i,-i\} $ ותת-החבורה שלה $ H=\{1,-1\} $. הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא $ \{i,-i\} $, והוא אינו סגור לכפל.

הגדרה פורמלית

תהא $ G $ חבורה ותהא $ H\subseteq G $ תת-חבורה שלה. יהא $ g\in G $ איבר כלשהו, אז הקבוצה $ gH=\left\{gh|h\in H\right\} $ תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של $ H $ ב-$ G $, והקבוצה $ Hg=\left\{hg|h\in H\right\} $ תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של $ H $ ב-$ G $.

תכונות

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה $ H $, המחלקות (מאותו צד) של $ H $ מהוות חלוקה של $ G $ לקבוצות זרות.

הוכחה: אם $ x\in g_{1}H\cap g_{2}H $ אז לפי הגדרה קיימים $ h_{1},h_{2} $ כך ש-$ x=g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2} $ ולכן $ g_{1}=g_{2}h_{2}h_{1}^{-1} $. מכיוון ש-$ h_{2}h_{1}^{-1}\in H $, נובע ש-$ g_{1}\in g_{2}H $, ולכן $ g_{1}H=g_{2}H $. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של $ H $ מהוות חלוקה של $ G $. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה $ H $ שווה למספר האיברים ב-$ H $. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות

אם לתת חבורה מסוימת $ H $ מתקיים $ \forall g\,,gH=Hg $, כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה

ניקח את החבורה $ (\mathbb {Z} ,+) $, כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. $ 4\mathbb {Z} $ היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: $ \{4\mathbb {Z} ,1+4\mathbb {Z} ,2+4\mathbb {Z} ,3+4\mathbb {Z} \} $. נציגים לדוגמה מהמחלקה $ 1+4\mathbb {Z} $ הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה $ 3+4\mathbb {Z} $ הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצוניים

  • מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מחלקה (תורת החבורות)28196645Q751969