מנרמל
בתורת החבורות, מנרמל (או נורמליזטור) של תת-חבורה $ H $ בחבורה $ G $ הוא תת-החבורה הגדולה ביותר של $ G $ שבה $ H $ נורמלית.
הגדרה
המנרמל של תת-חבורה $ H\leq G $ הוא אוסף כל האיברים של $ G $ המקיימים את התנאי $ xHx^{-1}=H $. במילים אחרות, אלו האיברים $ x\in G $ שעבורם, הצמוד $ xhx^{-1} $ שייך ל-$ H $ לכל $ h\in H $, ורק עבור $ h $ כזה. את המנרמל מקובל לסמן ב-$ \operatorname {N} _{G}(H) $, כך ש- $ \operatorname {N} _{G}(H)=\{x\in G:xHx^{-1}=H\} $.
כאשר מדובר בחבורות סופיות (ואפילו אם $ H $ בלבד סופית), הקבוצה $ \{x\in G:xHx^{-1}\subseteq H\} $ שווה למנרמל. עם זאת, באופן כללי התנאי $ xHx^{-1}\subseteq H $ חלש מתנאי השוויון, והוא מגדיר קבוצה המכילה את המנרמל, ועשויה להיות שונה ממנו. קבוצה זו סגורה לכפל, אבל אינה בהכרח סגורה לפעולת ההיפוך. לדוגמה, בחבורת Baumslag-Solitar $ \langle a,b\,|\,aba^{-1}=b^{2}\rangle $, האיבר $ a $ אינו שייך למנרמל של תת-החבורה הציקלית $ \langle b\rangle $, אף על פי ש-$ a\langle b\rangle a^{-1}\subset \,\langle b\rangle $.
תכונות עיקריות
מן ההגדרה ברור ש-$ H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H) $, וש-$ H $ היא תת-חבורה נורמלית שם. המנרמל הוא תת-החבורה הגדולה ביותר שבה $ H $ נורמלית - כל תת-חבורה של $ G $ המכילה את $ H $ ושבה $ H $ נורמלית, מוכלת במנרמל של $ H $. המנרמל שווה ל-$ G $ אם ורק אם $ H $ עצמה תת-חבורה נורמלית.
האינדקס של $ \operatorname {N} _{G}(H) $ שווה למספר תת-החבורות הצמודות ל-$ H $. אפשר לראות בגודל המנרמל מדד ל"מידת הנורמליות" של תת-החבורה: המנרמל של $ H $ שווה ל-$ H $ כאשר היא רחוקה ביותר מלהיות נורמלית.
באופן כללי מתקיים $ H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)\subseteq \operatorname {N} _{G}(\operatorname {N} _{G}(H))\subseteq \cdots $. אם $ G $ היא חבורת-p אז $ H\subset \operatorname {N} _{G}(H) $ לכל $ H\subset G $. לעומת זאת, אם $ P $ היא תת-חבורת סילו, אז $ \operatorname {N} _{G}(H)=H $ לכל $ H\supseteq \operatorname {N} _{G}(P) $ (זו תוצאה של משפט סילו השני).
המנרמל של איבר בחבורה חופשית הוא אבלי[1].
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ↑ Magnus, Karrass and Solitar, p. 42
מנרמל30259479Q1761121