מידה פריקה

בתורת המידה, מידה פריקה היא מידה שבמובן מסוים ניתנת לפירוק למשפחה של מידות סופיות. עובדה זו מאפשרת להוכיח תכונות מסוימות של מרחב המידה על ידי הוכחתן תחילה תחת ההנחה שהמידה היא סופית ולאחר מכן הרחבתן למקרה של מידה פריקה תוך שימוש בפירוק שלה. פריקות של מידה היא מעין סיגמא־סופיות חלשה.

הגדרה

מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} על מרחב מדיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,\mathcal M)} נקראת פריקה אם קיימת משפחת קבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F\sube\mathcal M} בעלת התכונות הבאות:

1. $\mu (F)<\infty$ לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\in\mathcal F} .
2. משפחת הקבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F} מהווה חלוקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , כלומר הקבוצות ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F} זרות בזוגות ואיחודן הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} .
3. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} מדידה ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(E)<\infty} אז $\mu (E)=\sum _{F\in {\mathcal {F}}}\mu (E\cap F)$ (במקרה זה, מספר המחוברים באגף ימין השונים מאפס חייב להיות בן מניה).
4. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\sube X} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\cap F} היא מדידה לכל $F\in {\mathcal {F}}$ , אז $E$ מדידה.

כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F\sube\mathcal M} היא חלוקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} לקבוצות ממידה סופית כך שמידת כל קבוצה ממידה סופית ניתנת לחישוב פשוט על ידי סכימת המידות של חיתוכיה עם הקבוצות ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F} , ובנוסף כדי לבדוק את מדידותה של קבוצה $E$ , די לנו לבדוק שחלקה היחסי מכל קבוצה במשפחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F} הוא מדיד. לכן במובן מסוים ניתן להבין מרחב מידה שכזה באופן מקומי, דרך תת־הקבוצות שלו שמידתן סופית.

מרחב מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,\mathcal M,\mu)} שעבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} היא מידה פריקה נקרא מרחב מידה פריק.

דוגמאות

• כל מידה סיגמא-סופית היא פריקה. למעשה, מידה היא סיגמא־סופית אם ורק אם בהגדרה לעיל ניתן לבחור את המשפחה ${\mathcal {F}}$ להיות בת מניה. בפרט, מידת לבג על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^n} היא פריקה.
• יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=\R} יחד עם הסיגמא־אלגברה הדיסקרטית, כלומר כל קבוצה היא מדידה. נגדיר על מרחב מדיד זה את המידה הסופרת, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(A)} שווה למספר האיברים ב־$A$ אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} קבוצה סופית ואחרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(A)=\infty} . אז $\mu$ מידה פריקה, על אף שאיננה סיגמא־סופית. אכן, נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F=\bigl\{\{x\}:x\in\R\bigr\}} ונקבל חלוקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} שכל הקבוצות בה הן ממידה סופית. התכונה הרביעית מתקיימת באופן טריוויאלי, כי כל קבוצה במרחב זה היא מדידה, וקל לבדוק שמתקיימת גם התכונה השלישית.
• יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=\R} יחד עם הסיגמא־אלגברה של קבוצות בורל. למרות הדמיון בין דוגמה זו לדוגמה הקודמת, במרחב זה המידה הסופרת איננה פריקה. אם ${\mathcal {F}}$ היא חלוקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} המקיימת את התכונות שבהגדרה, אז בפרט כל הקבוצות ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F} הן סופיות. לכן לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\sube\R} ולכל $F\in {\mathcal {F}}$ החיתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\cap F} הוא מדיד (שהרי הוא קבוצה סופית וכל קבוצה סופית היא קבוצת בורל), אך ידוע שלא כל קבוצה ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} היא מדידה בורל. לכן לא קיימת משפחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F} כזו.
• אם $G$ חבורה קומפקטית מקומית, מידת האר שלה היא מידה פריקה. למרות עובדה כללית זו, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} אינה סיגמא־קומפקטית, מידת האר שלה אינה סיגמא־סופית.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} מידת רדון על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית, ההרוויה של ההשלמה שלה היא מידה פריקה. כלומר, עד כדי "תיקון" קל, מידות רדון על מרחבי האוסדורף קומפקטיים מקומית הן פריקות.

שימושים

משפטים מסוימים בתורת המידה נכונים רק תחת הנחה מסוימת של סיגמא־סופיות, למשל משפט רדון־ניקודים והעובדה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl(L^1(\mu)\bigr)^*\cong L^\infty(\mu)} (ראו מרחב Lp). עובדה זו מונעת את הפעלתם של משפטים אלה באופן ישיר על מרחבי מידה שאינם סיגמא־סופיים, בעוד שמרחבים כאלה מופיעים באופן טבעי באפליקציות שונות (למשל, לכל חבורה קומפקטית מקומית שאינה סיגמא־קומפקטית אין מידת האר סיגמא־סופית). עם זאת, עבור מרחבי מידה פריקים ניתן להוכיח הכללות מסוימות של משפטים אלה.

• משפט רדון־ניקודים למרחבי מידה פריקים: יהי $(X,{\mathcal {M}},\mu )$ מרחב מידה פריק ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} מידה נוספת על אותו מרחב מדיד אשר רציפה בהחלט ביחס ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} . אז קיימת פונקציה מדידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:X\to[0,\infty]} עבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu(E)=\int_Ef\,d\mu} לכל קבוצה מדידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} שהיא סיגמא־סופית ביחס ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} . בנוסף, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F} משפחת קבוצות מדידות המהווה פירוק ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} כפי שנדרש בהגדרה של מידה פריקה, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f|<\infty} על כל קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\in\mathcal F} שהיא סיגמא־סופית ביחס ל־$\nu$ . המשפט נכון גם כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} מידה מסומנת או מידה מרוכבת, כאשר במקרים אלה טווח הפונקציה המובטחת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [-\infty,\infty]} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \C} , בהתאמה.
• כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,\mathcal M,\mu)} הוא מרחב מידה פריק (שאינו בהכרח סיגמא־סופי), לרוב מגדירים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^\infty(\mu)} בתור אוסף כל הפונקציות המדידות באופן מקומי אשר חסומות פרט אולי בקבוצה ממידה אפס באופן מקומי, כאשר מזהים פונקציות אשר ההפרש ביניהן שווה לאפס פרט אולי בקבוצה ממידה אפס באופן מקומי. הנורמה של פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} במרחב זה מוגדרת להיות המספר האי־שלילי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} הקטן ביותר עבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)|\le c} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} מחוץ לקבוצה כלשהי ממידה אפס באופן מקומי. אף על פי שזוהי אינה ההגדרה הסטנדרטית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^\infty(\mu)} , עדיין מתקבל מרחב בנך וכאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,\mathcal M,\mu)} הוא סיגמא־סופי מתקבלת ההגדרה הרגילה והמקובלת. תחת הגדרה חדשה זו מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl(L^1(\mu)\bigr)^*\cong L^\infty(\mu)} (עם אותו איזומורפיזם טבעי כמו במקרה הסיגמא־סופי).

לקריאה נוספת

• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Gerald B. Folland, Wiley-Interscience, 1999
• Real and Abstract Analysis, E. Hewitt & K. Stromberg, Springer, 1965

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0