מידה מרוכבת

בתורת המידה, מידה מרוכבת היא פונקציית מידה שערכיה מרוכבים. פורמלית, מידה מרוכבת על מרחב מדיד $\left(X,{\mathcal {M}}\right)$ היא פונקציה $\mu :{\mathcal {M}}\to \mathbb {C}$ שהיא סיגמא-אדיטיבית, כלומר $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right)$ לכל סדרה $E_{1},E_{2},\dots$ של קבוצות זרות בזוגות השייכות ל-${\mathcal {M}}$. בפרט כל טור $\sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right)$ כזה מתכנס ולמעשה אף מתכנס בהחלט.

לא כל מידה חיובית היא מידה מרוכבת, משום שלמידות חיוביות מרשים לקבל את הערך $\infty$, ואילו ממידה מרוכבת דורשים שכל הערכים יהיו מספרים. למעשה, מידה מרוכבת תמיד חסומה (על ידי מידת המרחב כולו).

תכונות של מידה מרוכבת

יהי $\left(X,{\mathcal {M}}\right)$ מרחב מדיד ותהי $\mu$ מידה מרוכבת עליו.

הסיגמא-אדיטיביות גוררת את העובדה הפשוטה $\mu (\varnothing )=0$ וזו בתורה גוררת אדיטיביות סופית: $\,\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$ לכל שתי קבוצות זרות $A,B$.

כפי שמתקיים עבור מידות חיוביות, $\mu$ היא רציפה מלמטה: אם $E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq \cdots$ היא סדרה עולה של קבוצות מדידות, אז מתקיים $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(E_{n}\right)$. בדומה לזה, $\mu$ היא רציפה מלמעלה: אם $E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq \cdots$ היא סדרה יורדת של קבוצות מדידות, אז מתקיים $\mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(E_{n}\right)$.

האיחוד של סדרת קבוצות מדידות (וזרות בזוגות) $E_{1},E_{2},\dots$ אינו תלוי בסדר האיברים, ולכן לכל הטורים המתקבלים מ-$\sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right)$ על ידי סידור מחדש, יש אותו סכום. משפט סטנדרטי אומר שבמקרה זה הטור מתכנס בהחלט.

מידת ההשתנות הכוללת

תהי $E$ קבוצה מדידה ונגדיר פונקציה חדשה על ${\mathcal {M}}$ על ידי $\left|\mu \right|\left(E\right)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }\left|\mu \left(E_{n}\right)\right|$, כאשר הסופרמום נלקח על פני כל החלוקות האפשריות של $E$ לסדרה של קבוצות מדידות $E_{1},E_{2},\dots$ (ניתן לקחת את הסופרמום רק על פני כל החלוקות שבהן $E_{n}=\varnothing$ לכל $n$ טבעי פרט למספר סופי של קבוצות בסדרה ולקבל הגדרה שקולה).

ניתן להראות ש-$\left|\mu \right|$ היא מידה חיובית ונהוג לכנות אותה מידת ההשתנות הכוללת (או מידת הערך המוחלט). למידה זו יש מספר תכונות מעניינות. ראשית כל, המידה המרוכבת $\mu$ נשלטת על ידי $\left|\mu \right|$, כלומר $\left|\mu \left(E\right)\right|\leq \left|\mu \right|\left(E\right)$ לכל $E$ מדידה. כמו כן, ברור כי $\left|\mu \right|$ היא המידה החיובית המינימלית שלה תכונה זו. התכונה המפתיעה ביותר היא ש-$\left|\mu \right|$ היא תמיד מידה סופית, כלומר $\left|\mu \right|\left(X\right)<\infty$. מכאן בפרט מקבלים שערכי המידה $\mu$ שייכים כולם לעיגול הסגור ב-$\mathbb {C}$ שמרכזו בראשית ורדיוסו $\left|\mu \right|\left(X\right)$.

אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת

תהי $\mu$ מידה מרוכבת. באמצעות משפט רדון-ניקודים ניתן להוכיח שקיימת פונקציה מרוכבת מדידה $h$ המקיימת $\left|h\left(x\right)\right|=1$ לכל $x\in X$ כך ש-$\mu \left(E\right)=\int _{E}h\,d\left|\mu \right|$ לכל $E$ מדידה. $h$ זו היא הפונקציה היחידה שמקיימת תכונה זו, אם אנו מסכימים שלא להבדיל בין פונקציות שנבדלות בערכיהן רק על קבוצה ממידה $\mu$ אפס. במצב זה מסמנים $d\mu =hd\left|\mu \right|$ ואומרים שזהו פירוק פולרי של המידה $\mu$ (באנלוגיה לפירוק הפולרי של מספר מרוכב). כעת בהתבסס על בניית אינטגרל לבג עבור מידות חיוביות ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת מדידה $f$ ביחס ל-$\mu$ באופן הבא: $\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fh\,d\left|\mu \right|$.

בגישה אחרת, תחילה רושמים $\mu =\mu _{1}+i\mu _{2}$, כאשר $\mu _{1}$ היא החלק הממשי של $\mu$ ו-$\mu _{2}$ היא החלק המדומה של $\mu$. אז $\mu _{1}$ ו-$\mu _{2}$ הן מידות מרוכבות המחזירות ערכים ממשיים בלבד. באמצעות פירוק האן-ז'ורדן ניתן לרשום $\mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}$ ו-$\mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}$, כאשר $\mu _{1}^{+},\mu _{1}^{-},\mu _{2}^{+},\mu _{2}^{-}$ הן מידות חיוביות סופיות מסוימות. כעת ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה ממשית מדידה $f$ ביחס ל-$\mu$ באופן הבא:

$\int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)$

כל עוד הביטוי באגף ימין מוגדר היטב, כלומר לא נתקלים בהפרש מהצורה $\infty -\infty$. כעת עבור $f$ מרוכבת מדידה מגדירים באופן טבעי

$\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\mathrm {Re} \left(f\right)\,d\mu +i\int _{X}\mathrm {Im} \left(f\right)\,d\mu$.

שתי הגדרות אלה ל-$\int _{X}f\,d\mu$ הן שקולות. האינטגרל ביחס למידה מרוכבת מקיים את כל התכונות הרגילות של אינטגרל לבג, לרבות לינאריות האינטגרל ומשפטי ההתכנסות הידועים.

רגולריות של מידה מרוכבת

כעת נניח ש-$X$ איננה סתם קבוצה, אלא מרחב טופולוגי, ונניח ש-${\mathcal {M}}$ היא הסיגמא-אלגברה של בורל המתאימה ל-$X$. בדומה למקרה של מידה חיובית, במקרה זה אנו אומרים ש-$\mu$ היא מידת בורל. $\mu$ נקראת מידת בורל רגולרית אם היא מידת בורל והמידה החיובית $\left|\mu \right|$ היא רגולרית.

אחד מהשימושים החשובים של מידות מרוכבות מתבטא במשפט ההצגה של ריס ל-$C_{0}^{*}\left(X\right)$. המרחב $C_{0}\left(X\right)$ מורכב מכל הפונקציות $f:X\to \mathbb {C}$ שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל $\varepsilon >0$ קיימת תת-קבוצה קומפקטית $K\subseteq X$ שמחוצה לה ערכי הפונקציה $f$ קטנים בערכם המוחלט מ-$\varepsilon$. זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום, קרי $\left\Vert f\right\Vert =\sup _{x\in X}\left|f\left(x\right)\right|$. המרחב הדואלי שלו, $C_{0}^{*}\left(X\right)$, מורכב מכל הפונקציונלים הלינאריים הרציפים $\Phi :C_{0}\left(X\right)\to \mathbb {C}$.

כעת נניח ש-$X$ הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית. בהינתן מידת בורל מרוכבת רגולרית $\mu$ על $X$, ההעתקה $f\mapsto \int _{X}f\,d\mu$ מגדירה פונקציונל לינארי רציף על $C_{0}\left(X\right)$. משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי רציף על מרחב זה ניתן להצגה בצורה שכזו. באופן יותר פורמלי, הוא אומר שעבור כל פונקציונל לינארי רציף $\Phi :C_{0}\left(X\right)\to \mathbb {C}$, קיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית $\mu$ על $X$ כך ש-$\Phi \left(f\right)=\int _{X}f\,d\mu$ לכל $f\in C_{0}\left(X\right)$, כלומר $\Phi$ מיוצג כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה המרוכבת $\mu$. המידה $\mu$ המתאימה ל-$\Phi$ מקיימת בנוסף את השוויון $\left\Vert \Phi \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right)$.

מרחב כל המידות המרוכבות

אם $\left(X,{\mathcal {M}}\right)$ הוא מרחב מדיד, אוסף כל המידות המרוכבות עליו מהווה מרחב וקטורי מעל $\mathbb {C}$ תחת פעולות חיבור וכפל בסקלר נקודתיות, כלומר $\left(\mu +\lambda \right)\left(E\right)=\mu \left(E\right)+\lambda \left(E\right)$ ו-$\left(c\mu \right)\left(E\right)=c\mu \left(E\right)$ לכל שתי מידות מרוכבות $\mu ,\lambda$ ולכל סקלר קומפלקסי $c$. ההעתקה $\left\Vert \mu \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right)$ מגדירה נורמה על מרחב זה והופכת אותו למרחב בנך, אשר לעיתים מסומן $\mathbf {M} \left(X\right)$. אם $X$ הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית ו-${\mathcal {M}}$ היא אלגברת בורל שלו, אוסף כל המידות המרוכבות הרגולריות עליו הוא תת-מרחב סגור של $\mathbf {M} \left(X\right)$ ולמעשה משפט ההצגה של ריס אומר שתת-מרחב זה הוא איזומורפי (במובן של איזומטריה לינארית) ל-$C_{0}^{*}\left(X\right)$.

ראו גם

• מידה חיובית
• מידה מסומנת
• משפט ההצגה של ריס