מידה מרוכבת
בתורת המידה, מידה מרוכבת היא פונקציית מידה שערכיה מרוכבים. פורמלית, מידה מרוכבת על מרחב מדיד $ \left(X,{\mathcal {M}}\right) $ היא פונקציה $ \mu :{\mathcal {M}}\to \mathbb {C} $ שהיא סיגמא-אדיטיבית, כלומר $ \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right) $ לכל סדרה $ E_{1},E_{2},\dots $ של קבוצות זרות בזוגות השייכות ל-$ {\mathcal {M}} $. בפרט כל טור $ \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right) $ כזה מתכנס ולמעשה אף מתכנס בהחלט.
לא כל מידה חיובית היא מידה מרוכבת, משום שלמידות חיוביות מרשים לקבל את הערך $ \infty $, ואילו ממידה מרוכבת דורשים שכל הערכים יהיו מספרים. למעשה, מידה מרוכבת תמיד חסומה (על ידי מידת המרחב כולו).
תכונות של מידה מרוכבת
יהי $ \left(X,{\mathcal {M}}\right) $ מרחב מדיד ותהי $ \mu $ מידה מרוכבת עליו.
הסיגמא-אדיטיביות גוררת את העובדה הפשוטה $ \mu (\varnothing )=0 $ וזו בתורה גוררת אדיטיביות סופית: $ \,\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B) $ לכל שתי קבוצות זרות $ A,B $.
כפי שמתקיים עבור מידות חיוביות, $ \mu $ היא רציפה מלמטה: אם $ E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq \cdots $ היא סדרה עולה של קבוצות מדידות, אז מתקיים $ \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(E_{n}\right) $. בדומה לזה, $ \mu $ היא רציפה מלמעלה: אם $ E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq \cdots $ היא סדרה יורדת של קבוצות מדידות, אז מתקיים $ \mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(E_{n}\right) $.
האיחוד של סדרת קבוצות מדידות (וזרות בזוגות) $ E_{1},E_{2},\dots $ אינו תלוי בסדר האיברים, ולכן לכל הטורים המתקבלים מ-$ \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right) $ על ידי סידור מחדש, יש אותו סכום. משפט סטנדרטי אומר שבמקרה זה הטור מתכנס בהחלט.
מידת ההשתנות הכוללת
תהי $ E $ קבוצה מדידה ונגדיר פונקציה חדשה על $ {\mathcal {M}} $ על ידי $ \left|\mu \right|\left(E\right)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }\left|\mu \left(E_{n}\right)\right| $, כאשר הסופרמום נלקח על פני כל החלוקות האפשריות של $ E $ לסדרה של קבוצות מדידות $ E_{1},E_{2},\dots $ (ניתן לקחת את הסופרמום רק על פני כל החלוקות שבהן $ E_{n}=\varnothing $ לכל $ n $ טבעי פרט למספר סופי של קבוצות בסדרה ולקבל הגדרה שקולה).
ניתן להראות ש-$ \left|\mu \right| $ היא מידה חיובית ונהוג לכנות אותה מידת ההשתנות הכוללת (או מידת הערך המוחלט). למידה זו יש מספר תכונות מעניינות. ראשית כל, המידה המרוכבת $ \mu $ נשלטת על ידי $ \left|\mu \right| $, כלומר $ \left|\mu \left(E\right)\right|\leq \left|\mu \right|\left(E\right) $ לכל $ E $ מדידה. כמו כן, ברור כי $ \left|\mu \right| $ היא המידה החיובית המינימלית שלה תכונה זו. התכונה המפתיעה ביותר היא ש-$ \left|\mu \right| $ היא תמיד מידה סופית, כלומר $ \left|\mu \right|\left(X\right)<\infty $. מכאן בפרט מקבלים שערכי המידה $ \mu $ שייכים כולם לעיגול הסגור ב-$ \mathbb {C} $ שמרכזו בראשית ורדיוסו $ \left|\mu \right|\left(X\right) $.
אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת
תהי $ \mu $ מידה מרוכבת. באמצעות משפט רדון-ניקודים ניתן להוכיח שקיימת פונקציה מרוכבת מדידה $ h $ המקיימת $ \left|h\left(x\right)\right|=1 $ לכל $ x\in X $ כך ש-$ \mu \left(E\right)=\int _{E}h\,d\left|\mu \right| $ לכל $ E $ מדידה. $ h $ זו היא הפונקציה היחידה שמקיימת תכונה זו, אם אנו מסכימים שלא להבדיל בין פונקציות שנבדלות בערכיהן רק על קבוצה ממידה $ \mu $ אפס. במצב זה מסמנים $ d\mu =hd\left|\mu \right| $ ואומרים שזהו פירוק פולרי של המידה $ \mu $ (באנלוגיה לפירוק הפולרי של מספר מרוכב). כעת בהתבסס על בניית אינטגרל לבג עבור מידות חיוביות ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת מדידה $ f $ ביחס ל-$ \mu $ באופן הבא: $ \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fh\,d\left|\mu \right| $.
בגישה אחרת, תחילה רושמים $ \mu =\mu _{1}+i\mu _{2} $, כאשר $ \mu _{1} $ היא החלק הממשי של $ \mu $ ו-$ \mu _{2} $ היא החלק המדומה של $ \mu $. אז $ \mu _{1} $ ו-$ \mu _{2} $ הן מידות מרוכבות המחזירות ערכים ממשיים בלבד. באמצעות פירוק האן-ז'ורדן ניתן לרשום $ \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-} $ ו-$ \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-} $, כאשר $ \mu _{1}^{+},\mu _{1}^{-},\mu _{2}^{+},\mu _{2}^{-} $ הן מידות חיוביות סופיות מסוימות. כעת ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה ממשית מדידה $ f $ ביחס ל-$ \mu $ באופן הבא:
- $ \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right) $
כל עוד הביטוי באגף ימין מוגדר היטב, כלומר לא נתקלים בהפרש מהצורה $ \infty -\infty $. כעת עבור $ f $ מרוכבת מדידה מגדירים באופן טבעי
$ \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\mathrm {Re} \left(f\right)\,d\mu +i\int _{X}\mathrm {Im} \left(f\right)\,d\mu $.
שתי הגדרות אלה ל-$ \int _{X}f\,d\mu $ הן שקולות. האינטגרל ביחס למידה מרוכבת מקיים את כל התכונות הרגילות של אינטגרל לבג, לרבות לינאריות האינטגרל ומשפטי ההתכנסות הידועים.
רגולריות של מידה מרוכבת
כעת נניח ש-$ X $ איננה סתם קבוצה, אלא מרחב טופולוגי, ונניח ש-$ {\mathcal {M}} $ היא הסיגמא-אלגברה של בורל המתאימה ל-$ X $. בדומה למקרה של מידה חיובית, במקרה זה אנו אומרים ש-$ \mu $ היא מידת בורל. $ \mu $ נקראת מידת בורל רגולרית אם היא מידת בורל והמידה החיובית $ \left|\mu \right| $ היא רגולרית.
אחד מהשימושים החשובים של מידות מרוכבות מתבטא במשפט ההצגה של ריס ל-$ C_{0}^{*}\left(X\right) $. המרחב $ C_{0}\left(X\right) $ מורכב מכל הפונקציות $ f:X\to \mathbb {C} $ שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל $ \varepsilon >0 $ קיימת תת-קבוצה קומפקטית $ K\subseteq X $ שמחוצה לה ערכי הפונקציה $ f $ קטנים בערכם המוחלט מ-$ \varepsilon $. זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום, קרי $ \left\Vert f\right\Vert =\sup _{x\in X}\left|f\left(x\right)\right| $. המרחב הדואלי שלו, $ C_{0}^{*}\left(X\right) $, מורכב מכל הפונקציונלים הלינאריים הרציפים $ \Phi :C_{0}\left(X\right)\to \mathbb {C} $.
כעת נניח ש-$ X $ הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית. בהינתן מידת בורל מרוכבת רגולרית $ \mu $ על $ X $, ההעתקה $ f\mapsto \int _{X}f\,d\mu $ מגדירה פונקציונל לינארי רציף על $ C_{0}\left(X\right) $. משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי רציף על מרחב זה ניתן להצגה בצורה שכזו. באופן יותר פורמלי, הוא אומר שעבור כל פונקציונל לינארי רציף $ \Phi :C_{0}\left(X\right)\to \mathbb {C} $, קיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית $ \mu $ על $ X $ כך ש-$ \Phi \left(f\right)=\int _{X}f\,d\mu $ לכל $ f\in C_{0}\left(X\right) $, כלומר $ \Phi $ מיוצג כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה המרוכבת $ \mu $. המידה $ \mu $ המתאימה ל-$ \Phi $ מקיימת בנוסף את השוויון $ \left\Vert \Phi \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right) $.
מרחב כל המידות המרוכבות
אם $ \left(X,{\mathcal {M}}\right) $ הוא מרחב מדיד, אוסף כל המידות המרוכבות עליו מהווה מרחב וקטורי מעל $ \mathbb {C} $ תחת פעולות חיבור וכפל בסקלר נקודתיות, כלומר $ \left(\mu +\lambda \right)\left(E\right)=\mu \left(E\right)+\lambda \left(E\right) $ ו-$ \left(c\mu \right)\left(E\right)=c\mu \left(E\right) $ לכל שתי מידות מרוכבות $ \mu ,\lambda $ ולכל סקלר קומפלקסי $ c $. ההעתקה $ \left\Vert \mu \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right) $ מגדירה נורמה על מרחב זה והופכת אותו למרחב בנך, אשר לעיתים מסומן $ \mathbf {M} \left(X\right) $. אם $ X $ הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית ו-$ {\mathcal {M}} $ היא אלגברת בורל שלו, אוסף כל המידות המרוכבות הרגולריות עליו הוא תת-מרחב סגור של $ \mathbf {M} \left(X\right) $ ולמעשה משפט ההצגה של ריס אומר שתת-מרחב זה הוא איזומורפי (במובן של איזומטריה לינארית) ל-$ C_{0}^{*}\left(X\right) $.