משפט רדון־ניקודים

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית ותורת המידה, משפט רדון־ניקודים (או לבג־רדון־ניקודים) הוא תוצאה יסודית וחשובה המאפשרת תחת תנאים מסוימים להשוות בין שתי מידות שונות המוגדרות על מרחב מדיד. המשפט מבטיח את הקיום של פונקציה המכונה נגזרת רדון־ניקודים, ולה תפקיד חשוב בין השאר בפיתוחה התאורטי של תורת ההסתברות.

כך למשל פונקציית צפיפות הסתברות של משתנה מקרי, מתוארת באופן פורמלי כנגזרת רדון־ניקודים של מידת ההסתברות שמושרית על ידי המשתנה המקרי ביחס למידת לבג (לרוב). שימוש תאורטי חשוב נוסף הוא הוכחת הקיום של תוחלת מותנית.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האוסטרי יוהאן רדון, שהוכיח מקרה פרטי של המשפט בשנת 1913, והמתמטיקאי הפולני אוטו ניקודים, שהוכיח את המשפט הכללי בשנת 1930. בשנת 1936 פרסם הנס פרוידנטל הכללה נוספת, שבה נכלל משפט רדון־ניקודים כמקרה פרטי.

נוסח פורמלי

בניסוחו הנפוץ, המשפט קובע כי אם $\nu$ היא מידה רציפה בהחלט ביחס למידה $\mu$ , ושתי המידות הן סיגמא־סופיות, אז יש $f$ פונקציה אינטגרבילית ביחס ל-$\mu$ , המכונה נגזרת רדון־ניקודים, כך שמתקיים $\nu (E)=\int _{E}fd\mu$ לכל קבוצה מדידה $E$ .

בצורה כללית יותר, המשפט מתאר קיום פירוק של $\mu$ לסכום מידות:

יהי $(X,{\mathcal {F}})$ מרחב מדיד. תהי $\mu$ מידה סיגמא־סופית וחיובית על המרחב, ותהי $\nu$ מידה סיגמא־סופית ומסומנת. אזי:

1. ניתן לפרק את $\nu$ באופן יחיד לסכום של מידות סיגמא־סופיות מסומנות $\rho ,\tau$ , כך ש-$\tau$ ניצבת ל-$\mu$, וש-$\rho$ רציפה בהחלט ביחס ל-$\mu$ .
2. קיימת פונקציה יחידה $f\in L^{1}\left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)$, כך שמתקיים $\rho \left(E\right)=\int _{E}fd\mu$ לכל קבוצה מדידה $E$. פונקציה זו מכונה נגזרת רדון־ניקודים, והיא מסומנת $f={\frac {d\rho }{d\mu }}$.

הכרחיות הדרישה לסיגמא־סופיות

הדוגמה הבאה מראה מדוע הדרישה לסיגמא־סופיות הכרחית. תהי $\mu$ מידת המניה על $\mathbb {R}$, כלומר $\mu \left(E\right)=\left|E\right|$ (בכל מקרה בו $E$ אינסופית נגדיר $\mu \left(E\right)=\infty$). תהי $\lambda$ מידת לבג על $\mathbb {R}$. קל לראות כי $\lambda$ רציפה בהחלט ביחס ל-$\mu$. אם בשלילה המשפט היה תקף גם במקרה זה, אז הייתה נגזרת רדון־ניקודים $f$ אינטגרבילית ביחס למידת המניה, כך שמתקיים $\lambda \left(E\right)=\int _{E}fd\mu$. אבל לכל $x\in \mathbb {R}$ מתקיים, $0=\lambda \left(\left\{x\right\}\right)=\int _{\left\{x\right\}}f\left(t\right)d\mu \left(t\right)=f\left(x\right)$, כלומר $f\equiv 0$. אבל מכך נובע כי $\lambda \equiv 0$, וזו סתירה.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0